Solución:
Existe un modelo de conocimiento, esencialmente debido a Robert Aumann, en el que el conocimiento está representado por una partición $ Pi $ de un conjunto de estados del mundo $ Omega $. Si el verdadero estado del mundo es $ omega $, el agente con partición $ Pi $ solo sabe que algún estado en la celda $ pi ( omega) $ (el valor de la proyección en $ omega $) obtenido. Un evento es simplemente un subconjunto de $ Omega $. Decimos que un agente sabe que el evento $ E $ obtiene en $ omega $ si $ pi ( omega) subseteq E $. Ahora deja que el espacio de estado sea $ Omega = {1,2, ldots, T } $, donde interpretamos $ t $ como “hay un examen en $ t $“. Ahora no hay partición $ Pi $ de modo que se mantenga lo siguiente:
- El estudiante no sabe exactamente en qué fecha es el examen en ningún estado.
- Si no hubo examen en $ {1, ldots, t-1 } $, entonces el estudiante sabe esto en $ t $.
Prueba: dejar $ t $ ser un elemento en $ Omega $ tal que $ pi
Entonces, al menos utilizando el modelo de conocimiento utilizado anteriormente, la paradoja del examen sorpresa no se puede formular de manera coherente.
En el capítulo 43 del libro de Martin Gardner se puede encontrar una discusión muy agradable sobre la inesperada paradoja del ahorcamiento. El colosal libro de las matemáticas (Nueva York: WW Norton & Company, 2001). Se incluyen numerosas referencias.
Gardner, citando a O’Beirne, afirma que “la clave para resolver la paradoja radica en reconocer que una declaración sobre un evento futuro puede ser conocida por una persona como una predicción verdadera, pero otra no puede ser conocida por otra hasta después del evento. “
El profesor que da el examen sorpresa “sabe que su predicción es sólida. Pero la predicción no puede usarse para respaldar una cadena de argumentos que eventualmente resulte en desacreditar la predicción en sí. Es esta autorreferencia indirecta la que […] lanza la llave inglesa en todos los intentos de probar que la predicción es incorrecta “.
Consulte también “El examen sorpresa o la paradoja del ahorcamiento inesperado”. Timothy Y. Chow. Amer. Matemáticas. Mensual 105 (1998) 41-51, cuya versión pdf está aquí.
Todo depende de la definición de “examen sorpresa”.
Si el maestro afirma que definitivamente se dará un examen de tal manera que en cualquier mañana del trimestre hasta el último día los estudiantes nunca podrían saber con certeza que se programó un examen ese día, el maestro ha hablado falsamente, ya que, si un examen no lo hubiera hecho dado por el penúltimo día, los estudiantes sabrían con certeza que el examen era el último día.
Sin embargo, si el profesor afirma que definitivamente se dará un examen sin previo aviso en algún momento del trimestre, parece justo llamarlo un “examen sorpresa”, ya que solamente Se podía predecir con certeza que el último día de clase tendría un examen si todos los demás no lo hubieran hecho. E incluso entonces, la certeza del examen solo se conocería durante 24 horas (no hay mucho tiempo para estudiar el material de un período completo). Todos los demás días tendrían una gran incertidumbre. La estrategia del maestro para mantener a los estudiantes alerta funcionaría.
Entonces, la paradoja de tu pregunta surge cuando dices: “Matemáticamente parece que debería ser, pero eso implicaría que los exámenes sorpresa no son posibles (y estan). “Los exámenes sorpresa del primer tipo son no posible. Los exámenes sorpresa del segundo tipo son. Cuando aclaras las definiciones, no hay paradoja.