Luego de consultar con expertos en este tema, programadores de varias áreas y maestros dimos con la solución a la cuestión y la compartimos en este post.
Solución:
Si realmente ya ha demostrado que las métricas $ p $ y $ d $ relacionadas de esa manera generan los mismos conjuntos abiertos, prácticamente ha terminado, pero está tratando de hacerlo demasiado complicado. Suponga que $ langle x_n: n in Bbb N rangle $ converge a $ x $ con respecto a $ d $; desea mostrar que también converge a $ x $ con respecto a $ p $. Sea $ U $ un nbhd abierto de $ x $. Entonces, desde $ langle x_n: n in Bbb N rangle underset d longrightarrow x $, hay un $ m in Bbb N $ tal que $ x_n in U $ para todos los $ n ge m $. Pero eso también es exactamente lo que significa que $ langle x_n: n in Bbb N rangle $ converja en $ x $ con respecto a $ p $, entonces $ langle x_n: n in Bbb N rangle subconjunto p longrightarrow x $.
Está en la prueba de que $ d $ y $ p $ generan la misma topología que usaría las constantes $ k $ y $ t $. Pero no es necesario probar primero que $ d $ y $ p $ generan la misma topología: puede probar este resultado directamente.
Suponga que $ langle x_n: n in Bbb N rangle underset d longrightarrow x $. Luego, para cada $ epsilon> 0 $ hay un $ m_ epsilon in Bbb N $ tal que $ d (x_n, x) < epsilon $ para cada $ n ge m_ epsilon $. Esto implica inmediatamente que $ p (x_n, x)
Tenga en cuenta que su descripción $$ kd (x, y) leq p (x, y) leq td (x, y) tag 1 $$ significa que $ p $ y $ d $ están fuertemente equivalente métrica. Para tales métricas, es bastante fácil mostrar que tenemos las mismas secuencias convergentes.
Dejar $ (x_n) $ ser cualquier secuencia de puntos de $ X $.
Por un lado, supongamos que $ p (x_n, x) to0 $ para algunos $ x en X $. Tomar cualquiera $ epsilon> 0 $. Para mostrar que $ d (x_n, 0) a 0 $, debemos demostrar que existe $ N_1 $ tal que $ d (x_n, x) < epsilon $ para todos $ n geq N_1 $. Ya que $ p (x_n, x) a 0 $, entonces existe $ N_1 $ tal que $ p (x_n, x) para todos $ n geq N_1 $y así por $ (1) $, $$ d (x_n, x) = frac1k cdot kd (x_n, x) leq frac1k cdot p (x_n, n) < frac1k cdot k epsilon = epsilon $$ para todos $ n geq N_1 $.
Por otro lado, suponga $ d (x_n, x) a 0 $ para algunos $ x en X $. Tomando $ epsilon> 0 $ y encontrar $ N_2 $ tal que $ d (x_n, x) < frac epsilon t $ para todos $ n geq N_2 $, de nuevo usamos $ (1) $ para ver eso $ p (x_n, x) < epsilon $ por $ n geq N_2 $.
Por tanto, las métricas comparten las mismas secuencias convergentes.
En realidad, no es necesario usar las constantes $ k, t $– de hecho, incluso está bien si hay están sin constantes positivas $ k, t $ satisfactorio $ (1) $ para todos $ x, y en X $.
Decimos que las métricas son equivalentes si producen los mismos conjuntos abiertos. Dicho de manera rigurosa, nos referimos a lo siguiente:
(I) $ para todo x, y, z en X $$ para todos R> 0 $, si $ d (x, y), entonces existe $ r> 0 $ tal que $ d (x, z) cuando sea $ p (y, z). (Cada punto en un $ d $-Bola yace en un campo abierto $ p $-bola contenida en el $ d $-bola.)
(ii) [Same thing as (i), but swapping $p$ and $d$ in each instance.]
Las métricas fuertemente equivalentes son equivalentes, pero no es necesario que se mantenga lo contrario.
Suponer que $ p $ y $ d $ son equivalentes, y dejemos $ (x_n) $ es una secuencia de puntos de $ X $.
Por un lado, supongamos $ p (x, x_n) a 0 $, y tomar $ epsilon> 0 $. Ya que $ p $ y $ d $ son equivalentes, entonces hay algunos $ r> 0 $ tal que $ d (x, x_n) < epsilon $ cuando sea $ p (x, x_n). Ya que $ p (x, x_n) a 0 $, hay algunos $ N $ tal que $ p (x, x_n) para todos $ n geq N $, asi que $ d (x, x_n) < epsilon $ para todos $ n geq N $. Por lo tanto, $ d (x, x_n) a 0 $.
Un enfoque similar le permitirá demostrar que $ d (x, x_n) to0 $ implica $ p (x, x_n) a 0 $.
Tenga en cuenta que en un espacio métrico con métrica $ d $, una secuencia $ (x_n) _ n = 1 ^ infty $ converge a $ x Leftrightarrow $ si $ U $ es un conjunto abierto (con respecto a la topología generada por $ d $) que contiene $ x $ entonces $ existe N in mathbb Z ^ + $ tal que $ x_n in U $ para todos $ n geq N $.
Entonces, suponga que $ (x_n) _ n = 1 ^ infty $ converge a $ x $ con respecto a la métrica $ d $. Sea $ U $ un conjunto abierto (en la topología inducida por $ p $) que contiene $ x $. $ U $ está abierto en la topología generada por $ d $. (Ya sabe que las métricas equivalentes generan la misma topología). Por lo tanto, $ existe N in mathbb Z ^ + $ tal que $ x_n en U $ para todos $ n geq N $. Esto muestra que $ (x_n) _ n = 1 ^ infty $ converge a $ x $ con respecto a la métrica $ p $.
También puede ir en la otra dirección, para mostrar que la convergencia a $ x $ con respecto a $ p $ implica convergencia con respecto a $ d $.