este problema se puede solucionar de diversas formas, pero en este caso te dejamos la que en nuestra opinión es la respuesta más completa.
Solución:
[update: see updated image/consideration at the end]
Esta es una extensión de la respuesta de @Dietrich.
La convergencia de la suma anterior, usando la alternancia zeta (o “eta de Dirichlet”), basada en los términos de la serie, se puede mejorar mucho usando la suma de Euler en algún orden. Para mi propio ejercicio con esto, hice un archivo de Excel para experimentar con él y muestro aquí un par de imágenes que ilustran el poder de aceleración de la suma de Euler, cuando incluso su orden se puede adaptar de manera óptima a órdenes fraccionarias o complejas. .
Con la suma/aceleración de Euler, en principio, se calcula la serie de Dirichlet finitamente truncada con algunos coeficientes de ponderación $e_n(o,t)$ que están determinados por el orden de la suma de Euler. Esto puede aproximar el resultado final mucho mejor que la serie “no acelerada” con el mismo número de términos.
Llame al número de términos usados t luego obtenemos la aproximación $$ eta(z)=lim_tto infty sum_n=1^t e_n(o,t) (-1)^n-1over n^z tag 1$$ donde $e_n(o,t)$ son los coeficientes por el procedimiento de suma de Euler de orden $o$ para el número de términos $t$. Luego, incluso en la primera raíz no trivial $z=rho_0$ necesitamos algunos términos de las sumas parciales para “ver/extrapolar el resultado”.
Para las trayectorias de las sumas parciales $s_n$ simplemente calculamos el (1) anterior con el mismo orden $o$ para aumentar el número $t$ de términos: $$ s_t=sum_n=1^t e_n(o ,t) (-1)^n-1over n^z tag 2$$ y la trayectoria viene dada por la secuencia $s_1,s_2,s_3,…,s_48$
Aquí está la imagen de la trayectoria de las sumas parciales en el plano complejo sin cualquier suma de Euler (o $o=0$) primero. La trayectoria comienza en $s_1=1+0i$, que es la suma parcial usando solo el primer término, luego continúa a lo largo de la línea azul de un punto a otro para llegar finalmente a $s_infty=0+0i$. (actualización: upps, veo que tengo el argumento en las imágenes de la letra $s$ que debería ser $z$ para esta discusión aquí porque $s$ denota aquí las sumas parciales, lo siento)
Vemos la espiral alrededor del valor final esperado de $0+0i$ y necesitamos cientos de términos para estar cerca de solo tres o cuatro dígitos decimales.
La suma de Euler con los coeficientes de ponderación puede mejorar dramáticamente esta imagen.
Aquí está el mismo cálculo, pero con un pequeño orden de Euler $o=0.1$ y un número de términos $t=48$:
Obviamente, la convergencia al valor final parece mucho más rápida e incluso más suave.
Un orden más alto de Eulersummation ($o=0.5$) mejora esto aún más:
¡Esto da incluso la idea de que la espiral puede ser derrotada!
Aquí está el detalle alrededor del origen, donde volví a escalar la distancia absoluta al origen logarítmicamente para que podamos ver que la espiral incluso parece detenerse después de solo 32 más o menos términos de las sumas parciales (pero esto podría ser un artefacto numérico aquí).
El Eulersummation estándar usa order $o=1$ y esto da esta impresión:
que no da mucha mejora (si es que lo hace). En el cambio de escala logarítmico alrededor del origen no tenemos más artefactos, pero aún podemos observar que las longitudes de arco por paso parecen disminuir. 
Finalmente, parece que hay un Eulerorder “óptimo”, pero que es incluso complejo. Tengo la impresión de que $o=0.5 – 0.3i$ es, en cierto sentido, óptimo: los pasos finales del 48-término-trayectoria parece acercarse al valor final en una curva casi lineal:
y el detalle alrededor del origen (aquí ampliado) parece muy prometedor:
De manera similar, esto se puede usar para trabajar con la suma de las raíces no triviales con un valor imaginario más grande, y también para los argumentos $eta(z)$ con una parte real más pequeña (e incluso negativa).
[update] Posiblemente el último paso (la mejora óptica usando el componente imaginario negativo de $-0.3i$ para el orden $o$ de la suma de Euler) se debió a problemas de redondeo de Excel. Usando Pari/GP de multiprecisión produje la siguiente imagen para el orden de exactamente $o=1/2$ y parece ser siempre la mejor/más rápida aproximación; los dando vueltas alrededor del origen parece inevitable incluso si el componente imaginario se varía un poco. La siguiente imagen muestra la aproximación de $s_t$ al origen en distancia absoluta (eje x) y ángulo (eje y) para 216 términos de las sumas parciales $s_t$ (compare la imagen de Excel con $o=0.5 $. Aquí estoy omitiendo las primeras sumas parciales de $ 8 $ para mantener la imagen concisa).
Aquí hay una superposición del cálculo numérico más preciso que enfoca la desviación angular y absoluta del origen en términos rectangulares, pero escalados logarítmicamente, para las órdenes $o=1/2$ y $o=1/2 – 0.3 î$. Vemos que ambos órdenes se aproximan de manera similar en términos de desviación absoluta (los radios disminuyen de manera muy similar) pero con el orden $o=0.5$, la secuencia de diferencia de ángulos parece disminuir muy bien:
La serie $zeta(s)=sum_n=1^inftyn^-s$ solo es válida para $Re(s)>1$, por lo que no es posible utilizar esta serie en $s=rho$, donde $rho=frac12+it_0$ es un cero no trivial. Necesitamos usar una continuación analítica, consulte ¿Qué es la continuación analítica de la función Zeta de Riemann? Una forma, para $Re(s)>0$, excepto $s=1$, es $$ zeta(s)=frac11-2^1-ssum_n =1^inftyfrac(-1)^n-1n^s, $$ ver Ceros de la función Zeta y continuación analítica.
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