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Solución:
Mi colega, Ido Segev, señaló que hay un problema con la mayoría de las pruebas elegantes aquí: Tetris no es solo un problema de mosaico de un rectángulo.
A continuación se muestra su prueba de que la conjetura es, de hecho, false.
De hecho, existe una invariante directa que funciona en esta circunstancia: la invariante ‘clásica’ para problemas de mosaico. Colorea la cuadrícula con un tablero de ajedrez y observa que todas las demás piezas (las $colorcyantextI$, $colorgreentextS$s, $color{blue textJ$s, y el cuadrado) ocupan un número igual de cuadrados blancos y negros en todas las orientaciones; por el contrario, el $colorpurpletextT$ siempre ocupa tres cuadrados de un color y un cuadrado del otro. Esto implica que para que cualquier número de filas (cada una de las cuales tiene el mismo número de cuadrados de cada color) se llene perfectamente, se debe usar un número par de $colorpurpletextT$ piezas.
EDITAR: Como señaló Gilad, este enfoque solo resuelve el ‘static’ el problema de colocar mosaicos en un rectángulo con tetrominós, incluido el $colorpurpletextT$, no el relleno de región ‘dinámico’ que proporciona Tetris; vea su excelente solución de por qué esto es importante si las filas intermedias se pueden despejar y las piezas parciales se pueden dejar atrás.
Editado para agregar: lo siguiente solo es correcto si construye sus cuatro líneas desde 0 (o si solo elimina cuatro filas a la vez), que es la forma de obtener el máximo de puntos en Tetris. Para un contraejemplo en el caso general de limpiar la pantalla de la forma que desee, vea (y vote por) la respuesta de Gilad Naor
Mi respuesta original:
Colorea los cuadrados en blanco y negro a modo de tablero de ajedrez y observa la paridad de los cuadrados negros. Esta es tu invariante.
(El rectángulo de $10times 4$ tiene un número par de cuadrados negros, cada pieza de $colormoradotextT$ tiene cuadrados negros de $3$ o $1$ y todas las demás piezas claramente tienen cuadrados negros de $2$ cuadrados, así que no solo tienes un número par de $colorpurpletextT$s, sino que tienes el mismo número de $colorpurpletextT$ predominantemente negros s y $colorpurpletextT$s predominantemente blancos.)
Existe una relación adicional similar para el número combinado de $colororangetextL$s y $colorbluetextJ$s:
El número de $colororangetextL$s, $colorbluetextJ$s y $colorpurpletextT$s con una línea horizontal de tres cuadrados es par.
En lugar del color del tablero de ajedrez, solo observa el color alternativo de filas enteras y ve que estas piezas son exactamente las que contribuyen con un número impar de cuadrados negros.
Si haces scroll puedes encontrar las notas de otros programadores, tú igualmente puedes mostrar el tuyo si lo crees conveniente.