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La secuencia converge si y si $limsup = liminf$

Te sugerimos que pruebes esta resolución en un ambiente controlado antes de pasarlo a producción, un saludo.

Solución:

Datos útiles que debes verificar:

  1. Cualquier secuencia ilimitada tiene una subsecuencia que diverge a $infty$ oa $-infty$.

  2. Cualquier sucesión acotada tiene una subsucesión convergente.

Señalas correctamente que la hipótesis de que $limsup_n to infty s_n$ y $liminf_n to infty s_n$ son ambas finitas implica que $(s_n)_n=1^ infty$ no tiene subsecuencias que diverjan hasta el infinito. Pero (1) implica que más es true: la secuencia $(s_n)_n=1^infty$ debe ser encerrado.

Repara cualquier $epsilon > 0$.

  • No puede haber infinitos $n$ para los cuales $s_n geq s + epsilon$, porque podría seleccionar de ellos una subsecuencia $y_k = s_n_k$ que satisfaga $y_k geq s + epsilon$ para todo $ k$.

    • Dado que la secuencia $(s_n)_n=1^infty$ está acotada, también lo está la secuencia $(y_k)_k=1^infty$. Entonces por (2) tiene una subsecuencia convergente a algún límite $L$; y por hechos básicos sobre límites, ya que $y_k geq s + epsilon$ para todo $k$, se debe tener $L geq s + epsilon$.
    • Pero $L$ es claramente también un límite subsecuente de $s$, lo que nos permite deducir que $limsup_n to infty s_n geq s + epsilon$, una contradicción.
  • De manera similar, no puede haber infinitos $n$ para los cuales $s_n leq s – epsilon$.

Entonces hay un entero positivo $N$ con la propiedad de que siempre que $n geq N$ uno tiene $$ s – epsilon < s_n < s + epsilon, $$ and since $epsilon > 0$ era arbitrario, $(s_n)_n=1^infty$ converge a $s$.

Otra posible solución (solo para casos acotados), solo use estos hechos:

  1. $inf A=sup A quadLeftrightarrowquad A=\textelemento único.$ (A acotado y no vacío) -Prueba

  2. $(x_n)text acotada y cada subsecuencia convergente de x_ntext converge a a quadRightarrow quadlim(x_n)=x$$ -Prueba

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