Después de tanto trabajar pudimos dar con la respuesta de esta cuestión que tantos usuarios de este sitio web han presentado. Si quieres compartir algo no dejes de dejar tu comentario.
Solución:
Suponga que la función $ f $ es $ C ^ 2 $ en un vecindario de $ bf 0 in mathbb R ^ n $. Usando la expansión de Taylor de $ f $ en $ bf 0 $, se puede probar lo siguiente: $$ Delta f ( bf 0) = lim_ r to 0 + 2n over r ^ 2 1 over omega (S_r) int nolimits_ S_r bigl (f ( bf x) – f ( bf 0) bigr) rm d omega ( bf x) . qquad
$$ Esta fórmula dice que $ Delta f ( bf 0) $ es “esencialmente” (es decir, hasta el factor de escala $ 2n over r ^ 2 $) igual a la diferencia promedio $ f ( bf x) – f ( bf 0) $ sobre pequeñas esferas alrededor de $ bf 0 $.
Usando esta interpretación, uno obtiene, por ejemplo, una comprensión intuitiva de la ecuación de calor $$ Partical u over Partical t = a ^ 2 Delta u , $$ a saber: Si se promedia sobre pequeñas esferas alrededor de un punto $ bf p $ hace más calor que en $ bf p $ mismo, luego, en el siguiente segundo, la temperatura en $ bf p $ aumentará.
Dado el interés en la fórmula anterior $
$, aquí hay algunas sugerencias para la demostración: Según el teorema de Taylor, uno tiene $$ f ( bf x) – f ( bf 0) = sum_ i = 1 ^ n f _ . i x_i + 1 over2 sum_ i, k f _ . Ik x_i x_k + o (| bf x | ^ 2) qquad ( bf x to bf 0). $$ Aquí, $ f _ . I $ y $ f _ . Ik $ son las derivadas parciales de $ f $ evaluadas en $ bf 0 $, de donde son constantes. Ahora integramos esto sobre $ S_r $ con respecto a la medida de superficie $ rm d omega $ y obtenemos $$ int nolimits_ S_r bigl (f ( bf x) – f ( bf 0) bigr) rm d omega ( bf x) = 1 over2 sum_ i f _ . ii int nolimits_ S_r x_i ^ 2 rm d omega ( bf x) + o bigl (r ^ 2+ (n-1) bigr) qquad (r to0 +) , $$ porque todos los demás términos son impares en al menos una variable. Las integrales $ int nolimits_ S_r x_i ^ 2 rm d omega ( bf x) $ son todas iguales; por lo tanto, tenemos $$ int nolimits_ S_r x_i ^ 2 rm d omega ( bf x) = 1 over n int nolimits_ S_r sum_k x_k ^ 2 rm d omega ( bf x) = r ^ 2 over n omega (S_r) qquad (1 leq i leq n) . $$ Poniéndolo todo junto obtenemos $ $ int nolimits_ S_r bigl (f ( bf x) – f ( bf 0) bigr) rm d omega ( bf x) = r ^ 2 over 2n omega (S_r) Delta f ( bf 0) + o (r ^ n + 1) qquad (r to 0 +) , $$ y resolviendo para $ Delta f ( bf 0) $ obtenemos la fórmula indicada.
Para una demostración usando el teorema de Gauss, vea aquí:
Bonita forma de pensar en el operador de Laplace … pero ¿cuál es la prueba?
Se comporta como un operador de promediado local. Esto se puede ver fácilmente cuando se considera una aproximación en diferencias finitas al laplaciano:
$$ nabla ^ 2 f (x, y) approx frac f (x + h, y) + f (xh, y) + f (x, y + h) + f (x, y – h) – 4f (x, y) h ^ 2 $$
Puede reescribir esto en notación vectorial como:
$$ nabla ^ 2 f (x, y) approx frac 1 h ^ 2 sum _ mathbf h f ( mathbf x + h) – f ( mathbf x ) $$
donde la suma está sobre los vectores en las direcciones $ x $, $ -x $, $ y $ y $ -y $, y $ h = || mathbf h || $. Aproximaciones de orden superior al laplaciano implicarán promediar las tasas de cambio en más direcciones.
Por lo tanto, puede pensar que el laplaciano se comporta como una “tasa de cambio promedio”. Como se señaló en la respuesta de Glen Wheeler, la tasa de cambio promedio puede ser cero incluso cuando hay una curvatura significativa en un punto, por ejemplo, como en la función $ f (x, y) = x ^ 2-y ^ 2 $.
En el procesamiento de imágenes, un laplaciano discreto (donde $ h $ es un píxel en la definición que di arriba) se puede usar como un filtro de detección de bordes burdo. Está cerca de cero en las regiones donde la imagen varía suavemente y tiene valores grandes en las regiones donde la imagen tiene transiciones nítidas de baja a alta intensidad.
En física, el laplaciano se interpreta como un operador de difusión, como en la ecuación $$ frac parcial u parcial t = nabla ^ 2 u $$ Esto dice que la tasa de cambio de $ u $ en horaviene dada por la tasa de cambio promedio de $ u $ en
espacio
[The hessian matrix contains information about the way your function bends around some point. Since it is symmetric (by the Schwarz theorem) and real, you can diagonalize it and so the laplacian is also the sum of the eigenvalues of the hessian, and these eigenvalues are important to detect which kind of bending you have locally.]
. Si interpretamos $ u $ como una temperatura (y por lo tanto $ parcial u / parcial t $ es la tasa de cambio de temperatura), vemos que hay más intercambio de calor en las regiones donde la temperatura es muy variable y menos calor intercambie cuando la temperatura varíe suavemente.
El laplaciano es también el rastro de la matriz de arpillera (la matriz de derivadas parciales de segundo orden). Dado que la traza de una matriz es invariante bajo un cambio de base, entonces el laplaciano no cambia si hace un cambio de base. Por ejemplo, si trabajas en $ mathbb R ^ 2 $, entonces $$ Delta f = frac Partical ^ 2 f Partical x ^ 2 + frac Partical ^ 2 f y parcial ^ 2 $$ en coordenadas cartesianas y $$ Delta f = frac 1 r frac parcial f parcial r + frac parcial ^ 2 f parcial r ^ 2 + frac 1 r ^ 2 frac parcial ^ 2 f parcial theta ^ 2 $$ en coordenadas polares pero en cada punto $ (x, y) $ o $ (r, theta) $ este es el mismo valor.
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