Si hallas algún error con tu código o trabajo, recuerda probar siempre en un entorno de testing antes añadir el código al trabajo final.
Solución:
Dado que el teorema del límite de Abel se puede probar usando la prueba de convergencia de Dirichlet (vea estas notas en la página web de Ken Davidson), tal vez esté satisfecho con una prueba geométricamente intuitiva de este último. Podría editar esta respuesta más adelante para incorporar este paso.
Es fácil notar que la prueba de Dirichlet es una generalización de la “prueba de series alternas”. Sin embargo, mientras que la serie alterna se prueba “geométricamente”, la prueba de Dirichlet generalmente se prueba mediante una aplicación poco inspiradora de la fórmula de suma por partes. Para motivarnos, veamos brevemente la prueba de series alternas;
Prueba de series alternas: Sea $(a_n)_n geq 0$ una secuencia monótona de reales positivos con límite cero. Entonces, $sum_n=0^infty (-1)^n a_n$ converge. De hecho, la secuencia $s_n = sum_i=0^n (-1)^i a_i$ de sumas parciales satisface $|s_m -s_n| leq a_n$ por $m >n$ y es Cauchy, en particular.
Todo esto se deriva del hecho de que existe una secuencia anidada de intervalos cerrados $I_0 supseteq I_1 supseteq I_2 supseteq ldots$ con $mathrmlongitud(I_n) =a_n$ tal que $s_n in I_n$ para cada $n$. Solo toma beginalign* I_0=[0,a_0] && I_1 = [s_1,s_0] && I_2 = [s_1,s_2] && I_3 = [s_3,s_2] && I_4 = [s_3,s_4] && cdots endalinear*
El plan es generalizar este enfoque al escenario de la prueba de Dirichlet.
Prueba de Dirichlet: Sea $(z_n)_n geq 0$ una secuencia de números complejos cuya secuencia de sumas parciales está acotada. Entonces, existe un disco cerrado $D$ de diámetro $d$ tal que $zeta_n = sum_i=0^n z_i in D$ para todo $n$. Sea $(a_n)_n geq 0$ una secuencia monótona de reales positivos que convergen a cero. Entonces, $ sum_n=1^infty a_n z_n$ converge. De hecho, la secuencia $s_n = sum_i=0^n (-1)^i a_i$ de sumas parciales satisface $|s_m -s_n| leq da_n$ por $m >n$ y es Cauchy, en particular.
Observación: En el caso $z_n=(-1)^n$, podemos tomar $D=[0,1]$ para que $d=1$.
Todo esto seguirá una vez que construyamos una secuencia anidada de discos cerrados $D_0 supseteq D_1 supseteq D_2 supseteq ldots$ con $mathrmdiam(D_n) = da_n$ tal que $s_n in D_n$ para cada $ n$. La pequeña pieza de geometría que usaremos para lograr esto es la siguiente:
Reescalar un disco con respecto a un punto distinto del centro: Sea $D$ un disco cerrado en el plano. Considere una transformación $f(z) = a(z-z_0)+z_0$ donde $a in (0,1]$. Esto efectúa una reducción de escala por el factor $a$ con respecto al punto base $z_0$. Supongamos que $z_0$ pertenece al disco $D$ (pero no es necesariamente el centro), entonces,
- $f(D)$ es, de nuevo, un disco.
- $f(D) subconjunto D$
- el diámetro de $f(D)$ es $a$ veces el diámetro de $D$.
Un par de comentarios breves: (1) es bastante intuitivo: si está parado en algún lugar dentro de un círculo, su “circunferencia” no depende de si mide la distancia en un sistema de unidades u otro. (2) sería true reemplazando $D$ por cualquier conjunto convexo (o incluso cualquier conjunto en forma de estrella alrededor de $z_0$).
Defina $zeta_n = sum_i=1^n z_i$ de modo que, por suposición, $zeta_n in D$ para todos los $n$. Definir transformaciones $f_n : mathbbC to mathbbC$ por $$ f_n(z) = fraca_na_n-1 (z-s_n-1 )+s_n-1,$$ notando $0 < fraca_na_n-1 leq 1$. Es fácil comprobar que:
- $s_0=a_0zeta_0$
- $s_1=f_1(a_0zeta_1)$
- $s_2=f_2 circ f_1(a_0zeta_2)$
- $s_n=f_n circ cdots circ f_1(a_0zeta_n)$, en general.
En particular beginalign* s_n in D_n && text donde && D_n = f_n circ cdots circ f_1 (a_0D) endalign*
Esta no es una explicación geométrica, pero pensé que intentaría explicar por qué la suma parcial es bastante natural aquí escribiéndola con la serie infinita en $z$ en todas partes.
Sea $s_n=sum_k=0^n a_k$. Entonces podemos expresar la serie de potencias para $a_n$ en términos de $s_n$ con un factor que tiende a cero en $z=1$: $$sum_n=0^infty a_n z^n = sum_ n=0^infty (s_n-s_n-1) z^n=(1-z)sum_n=0^infty s_n z^n.$$ Suponga que $lim_ nrightarrowinfty s_n=alpha$, es decir, la serie converge. Entonces $$sum_n=0^infty a_n z^n=alpha + (1-z)sum_n=0^infty (s_n -alpha)z^n.$$ En este forma, es fácil ver por qué $(s_n-alpha)rightarrow 0$ como $nrightarrowinfty$ implica la convergencia deseada – el factor $(1-z)$ pondrá a cero el $sum_n= 0^infty (s_n -alpha)z^n$ término como $zrightarrow 1$, ya que los términos tienden a cero. Es decir, dado que $$lim_zrightarrow 1 (1-z)sum_n=0^infty (s_n -alpha)z^n =0,$$ obtenemos el teorema de Abel.
Esto amplía la respuesta de Mike F. Él definió $D_n=f_n circcdots circ f_1(a_0D)$
Para mostrar $D_n+1subset D_n$ primero mostraremos
$a_0z_0 + a_1z_1 + ldots + a_n-1z_n-1+a_n(z_n+ldots+z_m)in D_n$.
En el caso base, $a_0z_0 + a_0z_1 + ldots + a_0z_min D_0 = a_0D$ porque las sumas parciales de $z_i$ están acotadas, por lo que podemos definir $D$ para que contenga estas sumas. Ahora suponga que $a_0z_0 + a_1z_1 + ldots + a_n-1z_n-1+a_n(z_n+ldots+z_m)in D_n$ se cumple y deseamos mostrarlo para $n+1$. La función $f_n+1$ es una escala centrada en $a_0z_0+cdots+a_nz_n$ por $a_n+1/a_n$. satisface
$f(a_0z_0 + a_1z_1 + ldots + a_n-1z_n-1+a_n(z_n+ldots+z_m))=a_0z_0 + a_1z_1 + ldots + a_n-1z_n- 1+a_nz_n+a_n+1(z_n+1+ldots+z_m)$
cuando $m>n$. Por lo tanto tenemos $a_0z_0 + a_1z_1 + ldots + a_n-1z_n-1+a_nz_n+a_n+1(z_n+1+ldots+z_m)in D_n +1$. Esto prueba el resultado.
Usando ese resultado ahora establezca $m=n$ entonces tenemos $a_0z_0 + a_1z_1 + ldots + a_n-1z_n-1+a_nz_nin D_n$. Esto dice que el centro de escala de $f_n+1$ está contenido en $D_n=f_n circcdots circ f_1(a_0D)$ que muestra $D_n+1subset D_n$. Esto combinado con $s_nin D_n$ muestra la convergencia de $s_n$.
Reseñas y calificaciones del post
Si aceptas, puedes dejar un escrito acerca de qué te ha parecido este escrito.