Posteriormente a investigar en diversos repositorios y foros finalmente hemos descubierto la solución que te mostraremos ahora.
Solución:
Supongamos que los puntos son $A,B,C$. Luego intersecta las ecuaciones de las bisectrices perpendiculares de $AB$ y $BC$. Este es el centro del círculo deseado. (con su notación $(p,q)$)
Ahora calcula la distancia entre $(p,q)$ y $A$. Ahora también se encuentra $r$.
$beginvmatriz x^2+y^2&x&y&1\ 5^2+10^2&5&10&1\ (-5)^2+0^2&-5&0&1\ 9^2+(-6)^2&9&-6&1 \ endvmatriz= beginvmatriz x^2+y^2&x&y&1\ 125&5&10&1\ 25&-5&0&1\ 117&9&-6&1\ endvmatriz = 0$
Sé que necesito usar esa fórmula pero no tengo idea de cómo empezar
beginecuación* left( xqright) ^2+left( ypright) ^2=r^2tag0 endecuación*
Una posible forma muy elemental es usar esta fórmula tres veces, una para cada punto. Como la circunferencia pasa por el punto $(5,10)$, satisface $(0)$, es decir
$$left( 5-qright) ^2+left( 10-pright) ^2=r^2tag1$$
Del mismo modo para el segundo punto $(-5,0)$:
$$left(-5-qright) ^2+left(0-pright) ^2=r^2,tag2$$
y por $(9,-6)$:
$$left( 9-qright) ^2+left( -6-pright) ^2=r^2.tag3$$
Tenemos así el siguiente sistema de tres ecuaciones simultáneas y en las tres incógnitas $p,q,r$:
$$begincasos left( 5-qright) ^2+left( 10-pright) ^2=r^2 \ left( -5-q derecha) ^2+p^2=r^2 \ left( 9-qright) ^2+left( 6+pright) ^2=r^ 2 endcasostag4 $$
Para resolverlo, podemos empezar restando la segunda ecuación de la primera
$$begincasos left( 5-qright) ^2+left( 10-pright) ^2-left( 5+qright) ^2-p ^2=0 \ left( 5+qright) ^2+p^2=r^2 \ left( 9-qright) ^2+ izquierda( 6+pderecha) ^2=r^2 endcasos $$
Expandiendo ahora el lado izquierdo de la primera ecuación obtenemos un lineal ecuación
$$begincasos 100-20q-20p=0 \ left( 5+qright) ^2+p^2=r^2 \ left( 9-q derecha) ^2+left( 6+pright) ^2=r^2 endcasos $$
Resolviendo la primera ecuación para $q$ y sustituyendo en las otras ecuaciones, obtenemos
$$begincasos q=5-p \ left( 10-pright) ^2+p^2-left( 4+pright) ^2-left ( 6+pright) ^2=0 \ left( 4+pright) ^2+left( 6+pright) ^2=r^2 end casos $$
Si simplificamos la segunda ecuación, se convierte en lineal ecuación en $p$ solamente
$$begincasos q=5-p \ 48-40p=0 \ left( 4+pright) ^2+left( 6+pright) ^2=r ^2 endcasos $$
Hemos reducido nuestro sistema cuadrático $(4)$ a dos ecuaciones lineales más la ecuación para $r^2$. De la segunda ecuación encontramos $p=6/5$, que sustituimos en la primera y en la tercera ecuación para encontrar $q=19/5$ y $r^2=1972/25$, es decir
$$begincasos q=5-frac65=frac195 \ p=frac65 \ r^2=left ( 4+frac65right) ^2+left( 6+frac65right) ^2= frac197225. endcasostag5 $$
Entonces la ecuación del círculo es
beginecuación* left( x-frac195right) ^2+left( y-frac65right) ^2=frac 197225. endecuación*
Sección de Reseñas y Valoraciones
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