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¿Cuál es la ecuación de una elipse dados 3 puntos y la recta tangente en esos puntos?

La guía o código que encontrarás en este post es la solución más sencilla y efectiva que encontramos a esta duda o dilema.

Solución:

Un enfoque computacionalmente costoso (que evita resolver un sistema lineal de seis incógnitas con solo cinco variables) es considerar que la ecuación de la cónica a través de los puntos $P=(P_x, P_y)$, $Q=(Q_x,Q_y) $, $R=(R_x,R_y)$, $S=(S_x,S_y)$, $T=(T_x,T_y)$ viene dado por

$$izquierda|begin{arrayc,c,c,c,c,c x^2 & y^2 & xy & x & y & 1 \ P_x^2 & P_y^2 & P_x P_y & P_x & P_y & 1 \ Q_x ^2 & Q_y^2 & Q_x Q_y & Q_x & Q_y & 1 \ R_x^2 & R_y^2 & R_x R_y & R_x & R_y & 1 \ S_x^2 & S_y^2 & S_x S_y & S_x & S_y & 1 \ T_x^2 & T_y^2 & T_x T_y & T_x & T_y & 1 \ endarrayderecho| = 0$$

Se le dan tres puntos, por ejemplo, $P = (0,-3)$, $Q = (1,0)$, $R=(0,3)$. Necesitas dos más. Podemos aproximarlos usando pequeños desplazamientos a lo largo de dos de las líneas tangentes. Por ejemplo, $$m_1 = 1: ;S = P + s,(1,1) = (s,s-3) qquad m_2 = infty: T = Q + t,(0,1) = (1,t)$$

Expandiendo el determinante con la ayuda de una herramienta como Matemáticarendimientos

$$-6 st left(quadbegin{arrayc (3+s+3t-st) x^2 + t(s-1) xy – (s-1) y^2 \ + ( 6-10s-3t+st) x + 9 (s -1) finarrayquadright)= 0$$

Usando la típica argucia de Cálculo, insistimos en que $s$ y $t$ son meramente pequeñano ceropara que podamos dividirlos fuera de la ecuación…

$$(3+s+3t-st) x^2 + t(s-1) xy – (s-1) y^2 + ( 6-10s-3t+st) x + 9 (s-1)= 0$$

… y luego proceder a calcular el limitando forma de la ecuación cuando $s$ y $t$ se convierten en evanescentemente pequeño … sustituyendo $s=t=0$!

$$3 x^2 + y^2 + 6 x – 9 = 0$$

Tenga en cuenta que, al derivar, tenemos $$6 x + 2 yy^prime + 6 = 0$$ que se satisface con $(x,y) = (0,3)$ y $y^prime = -1$ .

Comience con algo relativamente fácil: encuentre el círculo que lo atraviesa. $P_1$ y $P_3$ y tiene las tangentes apropiadas. Su centro es la intersección de las perpendiculares a las tangentes por los dos puntos. Por simetría, eso es en $(-3,0)$y su radio es entonces $3sqrt2$. Dejar $$f: (x,y)mapsto(x+3)^2+y^2-18$$ de modo que la ecuación de este círculo es $f(x,y)=0.$ Ahora deja $$g:(x,y)mapsto(x+y-3)(xy-3).$$ La cónica degenerada $g(x,y)=0$ consiste en las rectas tangentes que pasan por $P_1$ y $P_3$ (es el producto de las ecuaciones de las rectas). Cada combinación lineal no trivial de estas dos ecuaciones es en sí misma una cónica que pasa por los dos puntos y tiene las tangentes correctas en esos puntos. Usa la mu de Plücker para encontrar la combinación lineal que también pasa por $P_2$: $$f(P_2)g(x,y)-g(P_2)f(x,y) = -2(x+y-3)(xy-3)-4((x+3)^2+y ^2-18)=0$$ que se simplifica a la ecuación $$3x^2+y^2+6x-9=0.$$ Afortunadamente, esto es una elipse. El gradiente en $(1,0)$ es $(12,0)$entonces la tangente en $P_2$ es vertical, según se requiera. (Como señaló Blue en su comentario, no necesitábamos usar las tres tangentes para construir esta elipse).

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