Geodésicas en la pseudoesfera retorcida (superficie de Dini)

Anduvimos investigando por todo el mundo on line y de este modo tener para ti la respuesta para tu duda, en caso de alguna inquietud puedes dejarnos la duda y te contestamos porque estamos para ayudarte.

Solución:

Para responder a las preguntas de José:

Primero, no es imposible integrar el flujo geodésico del plano hiperbólico en estas coordenadas, pero las fórmulas que obtuve no son muy buenas, así que no las escribiré a menos que pueda encontrar una mejor manera de expresarlas. Probablemente sea más fácil de lo que obtuve en un primer paso, pero no tengo tiempo para trabajar en simplificarlos en este momento.

Nota añadida: (Ayuda a dormir en un problema a veces.) Si pones $a = rcos t>0$ y $b=rsin t>0$ y haces el cambio de variable $$ v=arcsinbigl((tan t)(tan theta )bigr) qquadtextyqquad u= fraclogrho – f(theta)sin t $$ donde $0

En segundo lugar, de hecho existe una geodésica (y sólo una) que comienza en cualquier punto dado del borde y baja en espiral por la superficie hacia $z = -infty$, es decir, comienza en un $(u_0,v_0)= dado. (u_0,pi/2)$ y entra en la parte de la superficie con $0

No soy bueno dibujando imágenes de computadora, pero aquí hay una descripción de lo que obtienes cuando desarrollas la región $0

Ahora, si tomas el rayo geodésico en el plano hiperbólico que une la imagen desarrollada de $(u_0,pi/2)$ (sobre $C$) al punto ideal $P_-$, entonces esto corresponde a una geodésica sobre la superficie de Dini que baja en espiral hasta $z=-infty$. De manera similar, si se toma el rayo geodésico en el plano hiperbólico que une la imagen desarrollada de $(u_0,pi/2)$ (en $C$) con el punto ideal $P_+$, entonces esto corresponde a una geodésica en el Superficie Dini que sube en espiral hasta $z=+infty$.

Como Joseph pidió fotos, agregaré a la excelente respuesta de Robert las siguientes imágenes.

Con el propósito de implementar el cambio de variables de Robert en Mathematica, simplifiqué la composición como se muestra a continuación:

(*twist parameter*)
t = Pi/6;

(*auxiliary function*)

g[x_, y_] := Sqrt[x^2 - y^2 + (x^2 + y^2)*Cos[2*t]];

(*change of variables for u*)

u[x_, y_] := 
  Csc[t]*(Log[x^2 + y^2] - 
     Log[Sqrt[2]*x + 
       g[x, y]] + (Cos[t]*
        Log[(-(x*Sqrt[1 + Cos[2*t]]) - 
            g[x, y])/(-(x*Sqrt[1 + Cos[2*t]]) + g[x, y])])/2);

(*parameterization*)

r[x_, y_] := Sin[t]*Cos[u[x, y]]*y/x, Sin[t]*Sin[u[x, y]]*y/x, 
   Cos[t]*(Sqrt[1 - Tan[t]^2*y^2/x^2] + 
       Log[(Tan[t]*y/x)/(1 + Sqrt[1 - Tan[t]^2*y^2/x^2])]) + 
    u[x, y]*Sin[t];

el dominio de r[x,y] es la región donde $ygeq0$, $xgeq ytan t$. Esta parametrización es una isometría desde su dominio (dotado de la métrica del modelo semiespacial de Poincaré) hasta su imagen.

Primero, aquí hay una imagen de la superficie parametrizada usando la función de malla estándar de Mathematica

r1 = 1; r2 = 10; ParametricPlot3D[r[x, y], x, 0, r2, y, 0, r2, 
 RegionFunction -> 
  Function[a, b, c, x, y, 
   x >= Tan[t]*y && r1^2 <= x^2 + y^2 <= r2^2], PlotPoints -> 100]

A continuación, visualicemos algunas geodésicas. A continuación mostramos algunas geodésicas en el modelo de semiplano y sus imágenes bajo la parametrización.

(*parameter for paths*)
rad = 1;

(*Geodesics in half-plane model*)
path1[x_] := x, Cos[t]*rad;
path2[th_] := rad*Cos[th], rad*Sin[th];
path3[th_] := rad*Sin[t]/Sin[2 t]*Cos[th], Sin[th] + 1;

(*Show geodesics in half-plane model with domain*)
Show[
 RegionPlot[domain, x, 0, 10, y, 0, 10, ImageSize -> Medium, 
  PlotStyle -> GrayLevel[0.9], BoundaryStyle -> None],
 ParametricPlot[path1[x], x, Tan[t]*rad, 10, PlotStyle -> Red],
 ParametricPlot[path2[th], th, 0, Pi/2 - t, PlotStyle -> Green],
 ParametricPlot[path3[th], th, -Pi/2, Pi/2 - 2 t, 
  PlotStyle -> Blue]
 ]

Ahora, esas mismas tres geodésicas mapeadas en la superficie de Dini.

Show[
 ParametricPlot3D[r[x, y], x, 0, 10, y, 0, 10, 
  RegionFunction -> Function[a, b, c, x, y, domain], 
  PlotPoints -> 100, Mesh -> False, PlotStyle -> Opacity[0.5], 
  PlotRange -> -1, 1, -1, 1, -4, 4],
 ParametricPlot3D[r @@ path1[x], x, Tan[t]*rad, 10, 
  PlotStyle -> Red],
 ParametricPlot3D[r @@ path2[th], th, 0, Pi/2 - t, 
  PlotStyle -> Green],
 ParametricPlot3D[r @@ path3[th], th, -Pi/2, Pi/2 - 2 t, 
  PlotStyle -> Blue]
 ]

La geodésica azul parece ser lo que Joseph estaba imaginando en primer lugar, siguiendo la superficie hasta $z=-infty$ y cada vez más cerca de la $z$-eje. La geodésica verde sale del borde en ángulo recto y sigue el camino más corto hasta el $z$-eje. Finalmente, lo que más me sorprende de todos modos es la geodésica roja, que serpentea arriba la superficie a $z=infty$.

Reseñas y calificaciones de la guía

Si posees algún recelo y capacidad de afinar nuestro tutorial puedes escribir una explicación y con placer lo ojearemos.

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