La guía paso a paso o código que verás en este post es la solución más sencilla y válida que hallamos a esta duda o dilema.
Solución:
Si es un tipo de matemático tradicional, le gusta que sus categorías tengan objetos que puedan describirse como conjuntos con estructura adicional y que sus morfismos sean funciones que conservan esa estructura. Esto está codificado en la noción de una categoría concreta, a saber, una categoría $C$ equipada con un funtor fiel $C to textSet$ que envía cada objeto a su conjunto subyacente. El punto de fidelidad es que codifica la idea de que tus morfismos pueden ser identificado con funciones sobre conjuntos subyacentes.
En el contexto de la geometría algebraica, por ejemplo, el Nullstellensatz implica que el funtor envía una variedad afín sobre un campo algebraicamente cerrado $k$ a su conjunto de puntos sobre $k$ (es decir, $X mapsto textHom (textSpec k, X)$) es fiel. Así podemos hablar de variedades afines sobre campos algebraicamente cerrados como si fueran conjuntos de puntos, y como si los morfismos entre ellos fueran funciones entre esos conjuntos de puntos.
Esto falla gravemente tan pronto como $k$ no es algebraicamente cerrado; por ejemplo, si $k = mathbbR$, entonces incluso una variedad inocente como $textSpec mathbbR[x]/(x^2 + 1)$ ya no tiene ningún punto sobre $mathbbR$, por lo que el funtor de $mathbbR$-puntos no puede distinguir ningún morfismo dentro o fuera de este objeto.
También puedo hacer de esto una respuesta; un funtor $hom_mathcalX(Z,-)$ es fiel si $Z$ es un generador de $mathcalX$. Decir que puedes “identificar” un objeto $A$ con $hom(Z,A)$ es quizás un poco de abuso de lenguaje; la idea es que los morfismos $Zto A$ te digan todo sobre $A$ en $mathcalX$. También le brinda un “funtor subyacente” que convierte su categoría en una categoría concreta sobre $mathbfSet$, para que pueda identificar $hom(Z,A)$ con $A$ aproximadamente en el mismo sentido en que puede identificar un grupo con $hom_mathbfGroup(mathbbZ,G)$. Le brinda una manera de ver los objetos abstractos de la categoría como conjuntos estructurados y ofrece una buena elección canónica de conjunto.
No estoy familiarizado con los complejos CW, por lo que no puedo decir si hay alguna consideración más específica para esa categoría. Pero creo que estas son consideraciones generales de por qué podría pensar en un objeto como identificable con su imagen bajo un funtor hom hom fiel. Espero que esto tenga sentido, avíseme si debo ampliar algo.
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