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Solución:
El Lema de Yoneda en la forma indicada le informa acerca de las transformaciones naturales entre los funtores $textHom(-,A)$ y $F$ de $mathbfFin$ a $mathbfSet$. El punto crucial es que $textHom(-,A)$ es contravariante, y esto requiere que el funtor $F$ también sea contravariante. Pero el $F$ que eligió, a saber, $textid_mathbfFin$ es covariante.
Reemplacémoslo por un funtor contravariante real, el funtor de preimagen $cal P^-1:mathbfFin→mathbfSet$, que asigna a un conjunto $S$ su conjunto potencia y a un función $f:Sto T$ el mapa conjunto $cal PT→cal PT$ que da la preimagen de cada subconjunto. Ahora el lema de Yoneda afirma que $$textNat(textHom(-,a,b,c),cal P^-1-)cong cal P a,b,c$$ Entonces elige un elemento $B$ de $cal Pa,b,c$. Ahora bien, si $f:Stoa,b,c$ es un mapa establecido, podemos asignar a $f$ la preimagen $f^-1[B]$ que es un elemento de $cal P^-1S$
Por supuesto, si desea mantener el funtor $textid_mathbfFin$, está invitado a reemplazar el hom-funtor contravariante por $textHom(A,-)$ y ver qué sucede .
Editar
Tu solución es correcta. La covariante Yoneda Lemma establece una biyección $$textNat(textHom(A,-),F-)cong FA$$ donde el elemento $ein FA$ corresponde a la transformación natural $ sigma_e$ que envía un morfismo $f:A→B$ a $(Ff)(e)$.
En el caso $F=textid_mathbfSet$ y $A=a,b,c$, el elemento $ain A$ da la transformación $alpha: mathbfSet(A,-) longrightarrow (-)$ que asigna $f:A→B$ a $f(a)$.
Yoneda nos dice que esto es naturaleso significa para $g:B→C$ $$α(mathbfSet(A,g)(f))=g(α(f))$$ que no es más que $$(gcirc f)(a)=g(f(a))$$ que es lo que dijiste.
Entonces, en este caso, Yoneda no nos brinda mucha información nueva, pero hay casos en los que es realmente útil.
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