Solución:
Cuando Bourbaki comenzó, en la década de 1930, era sin “teoría de categorías”, por un lado. Uno de los temas que abordaba el grupo era la falta de textos “modernos” (no solo en francés), y varios problemas de rigor en algunas fuentes existentes. En retrospectiva, su noción de “estructura” no fue un gran éxito, y ellos mismos no la utilizaron realmente en volúmenes posteriores.
No fue una idea completamente frívola, en la medida en que uno pueden observar la dinámica de interacciones de “diferentes” nociones fundamentales (“algebraicas” y “topológicas”, etc.) Sin embargo, en retrospectiva, el grupo de Bourbaki era ingenuo acerca de los fundamentos y la filosofía de las matemáticas, sin importar sus grandes fortalezas en matemáticas por se. Incluso su actitud sobre el análisis parece sesgada. Por ejemplo, ¿dónde está el volumen de PDE? 🙂
El libro de Leo Corry “El álgebra moderna y el surgimiento de las estructuras matemáticas” incluye una discusión de las “estructuras” de Bourbaki y hace comparaciones tanto con la teoría de categorías como con algunas otras nociones tempranas en competencia.
Pero, entre otras conclusiones, se puede ignorar la noción de “estructura” de Bourbaki en términos de la práctica de las matemáticas, o incluso para la lectura de Bourbaki (!).
Editar: también, creo que deberíamos distinguir los intentos / concepciones “fundacionales” de los “organizativos”, aunque un enfoque puede incluir ambos. No parece que la teoría de conjuntos siempre trató de proporcionar principios organizativos para las matemáticas, solo fundamentales (e interesantes cuestiones propias). Por el contrario, la teoría de categorías siempre ha sido mucho más organizativa que fundamental (a pesar del trabajo de Lawvere y de muchos otros más recientemente). En mi opinión, las “estructuras” de Bourbaki tenían una intención más organizativa que fundamental, aunque, posiblemente, alguna La “economía” de conceptos debería aligerar las cargas fundamentales.
He visto un poco la definición de estructura de Bourbaki. El grupo de Bourbaki define la estructura aproximadamente como una colección de conjuntos con funciones y relaciones en ellos. Toman como ejemplo un espacio topológico que es un conjunto junto con algún subconjunto de su conjunto de potencias. Las estructuras de Bourbaki son cualquier cosa que pueda definirse de esta manera, como grupos, etc.
La teoría de categorías estudia las clases de objetos y sus morfismos. Intenta clasificar construcciones basándose en propiedades abstractas de morfismos y diagramas. Por ejemplo, en la categoría tenemos una descripción de un producto sin usar nunca “elementos”, y esta definición de un producto se aplica a todas las categorías; si un producto existe o no es otro tema. A veces lo hace y a veces no.
La teoría de categorías no nos da una forma obvia de construir estructuras familiares como grupos en primer lugar, aunque hay matemáticas interesantes detrás de hasta dónde se puede llegar solo con el concepto de categoría.
Sugiero olvidar completamente a Bourbaki a menos que (a) necesite un resultado específico o (b) esté interesado en tratamientos históricos. Dado que Bourbaki cubrió mucho, lo que debe elegir depende de lo que quiera aprender. Si está interesado en la teoría de categorías, siga mirando Mac Lane o pruebe el libro de Awodey.
Por otro lado, si está interesado en analizar las matemáticas a partir de sus modelos y estructura, pruebe la teoría de modelos. Es una rama de la lógica que estudia los tipos de modelos que pueden ocurrir para un conjunto dado de axiomas y cómo esos modelos difieren, tanto desde una perspectiva de primer orden (es decir, qué se puede distinguir solo por oraciones de primer orden) como desde una perspectiva externa. perspectiva (¿son isomorfos?). El libro de David Marker sobre teoría de modelos es una buena introducción.
Si solo está interesado en estructuras específicas como grupos, anillos, etc., lea algo de álgebra abstracta. Debes estar familiarizado con el álgebra abstracta, que te ayudará a comprender por qué la teoría de categorías es tan importante. Dependiendo de la cantidad de álgebra que sepas, quizás te interese leer un libro introductorio como el de Rotman sobre álgebra homológica. También puedes consultar el libro de Weibel sobre Álgebra homológica, que es mi favorito, aunque es más avanzado.
La mayoría de los libros de texto de álgebra para graduados presentan una teoría de categorías realmente básica y la utilizan en álgebra. Álgebra básica 2 de Jacobson es bastante agradable e incluye varias definiciones de diagramas.