Si hallas algún fallo con tu código o proyecto, recuerda probar siempre en un ambiente de testing antes subir el código al trabajo final.
Solución:
Esto se podría haber escrito más claro. Creo que el culpable es la sección:
El problema se identificó por primera vez hace más de un siglo. En ese momento, los matemáticos sabían que “los números reales son más grandes que los números naturales, pero no cuánto más grandes. ¿Es el siguiente tamaño más grande o hay un tamaño intermedio? dijo Maryanthe Malliaris de la Universidad de Chicago, coautora del nuevo trabajo junto con Saharon Shelah de la Universidad Hebrea de Jerusalén y la Universidad de Rutgers.
En su nuevo trabajo, Malliaris y Shelah resuelven una pregunta relacionada de hace 70 años sobre si un infinito (llámelo p) es más pequeño que otro infinito (llámelo t). Demostraron que los dos son de hecho iguales, para sorpresa de los matemáticos.
Si se lee rápidamente, esto sugiere que $mathfrakp$ y $mathfrakt$ se refieren a la cardinalidad del conjunto de los reales y del conjunto de los naturales, respectivamente. Sin embargo, este no es el caso.
Entonces, ¿qué tipo de cosas están$mathfrakp$ y $mathfrakt$¿luego?
$mathfrakp$ y $mathfrakt$ son los que se conocen como características cardinales del continuo (CCC): cardenales que (i) se sabe que no son contables y (ii) miden qué tan grande debe ser un conjunto de reales para tener alguna propiedad de “universalidad”.
Por ejemplo, un CCC simple es el número dominante, $mathfrakd$: esta es la cardinalidad más pequeña de un conjunto $F$ de funciones $mathbbNflecha derechamathbbN$ tal que para cada $g:mathbbNrightarrowmathbbN$ hay algo $fen F$ tal que $f(n)>g(n)$ para todos menos un número finito $n$ (decimos $f$domina$g$). Claramente $mathfrakd$ es a lo sumo continuo (ya que esa es la cantidad de funciones $mathbbNflecha derechamathbbN$ hay en primer lugar), y también es incontable: si $f_i:mathbbNrightarrowmathbbN$ por $ienmathbbN$la función $$h(i)=sum_jle if_j(i)=f_1(i)+f_2(i)+…+f_i(i)$$ no está dominado por ninguno de los $f_i$s.
Otro CCC simple es el número delimitador, $mathfrakb$. Esto es “dual” a $mathfrakd$ (en un sentido que puede precisarse): $mathfrakb$ es el tamaño más pequeño de cualquier familia $G$ de funciones $mathbbNflecha derechamathbbN$ tal que no único$f$ domina todos funciones en $G$. Otra vez, $mathfrakb$ es claramente a lo sumo un continuo, y es incontable, ya que cualquier función numerable puede estar dominada por una sola función (piense en la construcción de la $h$ encima).
Ahora, la aritmética cardinal se comporta de manera notoriamente mala, incluso los hechos básicos tienden a ser indecidibles en ZFC. Por ejemplo, ZFC ni siquiera prueba que $kappa
Esto deja abierto:
Qué igualdades entre CCCs podemos probar en ZFC? ¿Qué desigualdades podemos refutar?
Como ejemplo de esto último, ZFC demuestra que $mathfrakblemathfrakd$ no podemos tener $mathfrakb>mathfrakd$ (este es un buen ejercicio). En términos más generales, la colección de desigualdades refutables entre muchos CCC (sin incluir $mathfrakp$ y $mathfrakt$, aunque) se resume en el diagrama de Cichon. Malliaris y Shelah demostraron un resultado del tipo anterior, mostrando que dos CCC eran de hecho iguales. Tengo entendido que este tipo de resultado es mucho, mucho más raro incluso en general, y por supuesto en este caso particular fue sumamente sorprendente (ver la cita de Shelah en el artículo vinculado).
Por supuesto, no he tratado de definir $mathfrakp$ y $mathfrakt$; las definiciones están ahí, pero son un poco técnicas, y más concretamente, es difícil ver por qué a alguien le importaría. Un buen análisis de ellos no es algo que pueda encajar en una respuesta de MSE; ¡pero espero que lo que he escrito explique un poco de dónde puede venir este tipo de cosas!
Estás malinterpretando lo que dice el artículo. Malliaris y Shelah demostraron que dos cardenales son iguales, o más bien, que dos definiciones de cardenales particulares definen al mismo cardenal, pero los cardenales que demostraron ser iguales no son $|mathbb N|$ y $|mathbb R|$.
Este breve artículo de los enlaces en la parte inferior ofrece las definiciones relevantes:
El cardinal $mathfrak p$ es la cardinalidad mínima de una colección $mathcal F$ de infinitos subconjuntos de $mathbb N$, cuyas intersecciones finitas son infinitas, de modo que no hay un solo infinito $Asubseteq mathbb N$, tal que cada elemento de $mathcal F$ contiene $A$ excepto por un error finito. El cardinal $mathfrak t$ se define de manera similar, excepto que solo se cuantifica sobre familias $mathcal F$ que están totalmente ordenadas por contención módulo un error finito.
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