Este dilema se puede abordar de diferentes formas, por lo tanto te mostramos la resolución más completa en nuestra opinión.
Solución:
No. Supongamos que existe tal polinomio $f(x)$ de grado $k$, digamos. En primer lugar, este polinomio tiene que tener coeficientes racionales (por interpolación de Lagrange, por ejemplo). Sea $N$ el mínimo común denominador de los coeficientes. Entonces $g(x)=Nf(x)$ es un polinomio con coeficientes enteros y $g(2)$ es divisible por $N$. Pero $g(2-N)equiv g(2)equiv 0pmod N$, entonces $g(2-N)$ es divisible por $N$, por lo tanto $f(2-N)$ es un número entero . Pero claramente $2-N$ no es un número primo, por lo que obtenemos una contradicción.
Editar: en aras de la aclaración, así es como he interpretado la pregunta: ¿existe un polinomio $f$ tal que, para $ninmathbb Z$, $f(n)$ es un número entero iff $n$ es primo ? Muestro que no existe tal polinomio.
Edición 2: (en respuesta a Yves Daoust) Supongamos que $f$ es un polinomio de grado $k$ que toma un valor entero en cada número primo. Elija cualquier número primo $p_1,dots,p_k+1$. Considere el polinomio $L(x)$ definido aquí para $x_i=p_i,y_i=f(p_i)$. Dado que todo $ell_i$ es un polinomio con coeficientes racionales de grado a lo sumo $k$, lo mismo vale para $L$.
Ahora tenga en cuenta que $fL$ es un polinomio de grado como máximo $k$ que es cero en al menos $k+1$ puntos $p_1,dots,p_k+1$, por lo que debe ser un polinomio cero. Así $f=L$ tiene coeficientes racionales.
Sí.
Todos los polinomios de la forma
$$Q(x)+sqrt2prod_k=1^n(x-p_k)$$ donde $Q$ es un polinomio de coeficientes enteros, son enteros solo en los números primos $p_k$.
Apéndice:
La interpretación de la pregunta como “los únicos valores enteros del polinomio sobre $mathbb R$ ocurren en números primos” no tendría sentido ya que para $n$ suficientemente grandes, la pendiente de cualquier polinomio excede $1$ y los valores enteros ocurren en argumentos más cercanos a $1$.