Solución:
La cantidad que propone es una derivada total; específicamente,
$$ frac 1 2 epsilon_ abcd F ^ ab F ^ cd = partial ^ a left ( epsilon_ abcd A ^ b F ^ cd right). $$
Dado que agregar una derivada total a cualquier lagrangiano no cambia las ecuaciones clásicas de movimiento, no importa si este invariante está en el lagrangiano o no, y es costumbre dejarlo fuera.
(En el nivel cuántico, hay fenómenos interesantes físicamente observables que pueden surgir de términos de derivada total, pero esa es una pregunta separada y no estoy tan calificado para responder).
Puede agregar esto al Lagrangiano si lo desea, pero no tendrá ningún efecto. Intente ejecutar el Lagrangiano con el término adicional a través de la ecuación de Euler-Lagrange; es un poco tedioso, pero verá que no tiene ningún efecto en las ecuaciones de movimiento. La razón es que este término se puede escribir como una derivada total (ver esta pregunta), y dos lagrangianos que se diferencian por la derivada total de una función describirán el mismo sistema físico (es decir, devolverán las mismas ecuaciones de movimiento).
$ boldsymbol S $A. La función $ , left ( mathbf E boldsymbol cdot mathbf B right) , $ como una derivada total
Demostraremos a nivel elemental que para el campo electromagnético la función escalar invariante de Lorentz $ , left ( mathbf E boldsymbol cdot mathbf B right) , $ es la 4-divergencia de una función vectorial de 4 dimensiones. Entonces, agregar este escalar a la densidad lagrangiana del campo no cambia las ecuaciones de movimiento, es decir, las ecuaciones de Maxwell.
De las expresiones de $ , mathbf E, mathbf B , $ en términos de los potenciales escalares y vectoriales $ phi, mathbf A , $ begin align mathbf E & boldsymbol = boldsymbol – boldsymbol nabla phi boldsymbol – dfrac partial mathbf A partial t tag 01a label 01a \ mathbf B & boldsymbol = boldsymbol nabla boldsymbol times mathbf A tag 01b label 01b end align
tenemos
begin ecuación left ( mathbf E boldsymbol cdot mathbf B right) boldsymbol = boldsymbol – underbrace left ( boldsymbol nabla phi right) boldsymbol cdot left ( boldsymbol nabla boldsymbol times mathbf A right) vphantom left ( dfrac partial mathbf A partial t right) _ boldsymbol boxed 1 boldsymbol – underbrace left ( dfrac partial mathbf A partial t right) boldsymbol cdot left ( boldsymbol nabla boldsymbol times mathbf A right) _ boldsymbol boxed 2 etiqueta 02 etiqueta 02 end ecuación
Nuestro objetivo sería encontrar, si existe, una función escalar real $ , eta , $ y una función real de 3 vectores $ , boldsymbol xi boldsymbol = left ( xi ^ 1, xi ^ 2, xi ^ 3 right) , $ , que es una función vectorial de 4 dimensiones $ , boldsymbol Xi boldsymbol = left ( xi ^ 1, xi ^ 2, xi ^ 3, eta right) , $ tal que cede la igualdad
begin ecuación left ( mathbf E boldsymbol cdot mathbf B right) boldsymbol = dfrac parcial eta c parcial t boldsymbol + boldsymbol nabla boldsymbol cdot boldsymbol xi boldsymbol = partial _ mu Xi ^ mu tag 03 label 03 end ecuación
A continuación, haremos uso de la identidad.
begin ecuación boxed : : boldsymbol nabla boldsymbol cdot left ( mathbf a boldsymbol times mathbf b right) boldsymbol = mathbf b boldsymbol cdot left ( boldsymbol nabla boldsymbol times mathbf a right) boldsymbol – mathbf a boldsymbol cdot left ( boldsymbol nabla boldsymbol times mathbf b right) vphantom dfrac a b : : etiqueta 04 etiqueta 04 end ecuación
Usando la identidad eqref 04 con $ , mathbf a boldsymbol equiv boldsymbol nabla phi , $ y $ , mathbf b boldsymbol equiv mathbf A , $ tenemos
begin ecuación boldsymbol boxed 1 boldsymbol = left ( boldsymbol nabla phi right) boldsymbol cdot left ( boldsymbol nabla boldsymbol times mathbf A right) vphantom left ( dfrac partial mathbf A partial t right) boldsymbol = mathbf A boldsymbol cdot underbrace izquierda[boldsymbolnablaboldsymboltimes left(boldsymbolnablaphiright)vphantomdfracabright] _ boldsymbol 0 boldsymbol – boldsymbol nabla boldsymbol cdot left[left(boldsymbolnablaphiright)boldsymboltimesmathbf A vphantomdfracabright]
etiqueta 05 etiqueta 05 end ecuación
es decir
begin ecuación boldsymbol boxed 1 boldsymbol = left ( boldsymbol nabla phi right) boldsymbol cdot left ( boldsymbol nabla boldsymbol times mathbf A right) vphantom left ( dfrac partial mathbf A partial t right) boldsymbol = boldsymbol nabla boldsymbol cdot izquierda[boldsymbol-left(boldsymbolnablaphiright)boldsymboltimesmathbf A vphantomdfracabright]
etiqueta 06 etiqueta 06 end ecuación
Ahora
begin ecuación dfrac parcial parcial t left[mathbf Aboldsymbolcdotleft(boldsymbolnablaboldsymboltimesmathbf Aright)vphantomdfracabright] boldsymbol = underbrace left ( dfrac partial mathbf A partial t right) boldsymbol cdot left ( boldsymbol nabla boldsymbol times mathbf A right) _ boldsymbol boxed 2 boldsymbol + mathbf A boldsymbol cdot left[boldsymbolnablaboldsymboltimesleft(dfracpartial mathbf Apartial tright)right]
etiqueta 07 etiqueta 07 end ecuación
De la identidad eqref 04 con $ , mathbf a boldsymbol equiv left ( dfrac partial mathbf A partial t right) , $ y $ , mathbf b boldsymbol equiv mathbf A , $ begin ecuación boldsymbol nabla boldsymbol cdot left[left(dfracpartial mathbf Apartial tright)boldsymboltimesmathbf Aright] boldsymbol = mathbf A boldsymbol cdot left[boldsymbolnablaboldsymboltimesleft(dfracpartial mathbf Apartial tright)right] boldsymbol – underbrace left ( dfrac partial mathbf A partial t right) boldsymbol cdot left ( boldsymbol nabla boldsymbol times mathbf A right) _ boldsymbol boxed 2 etiqueta 08 etiqueta 08 end ecuación
Restar ecuaciones eqref 07, eqref 08 una al lado de la otra produce
begin ecuación boldsymbol boxed 2 boldsymbol = left ( dfrac partial mathbf A partial t right) boldsymbol cdot left ( boldsymbol nabla boldsymbol times mathbf A right) boldsymbol = dfrac partial partial t left[frac12mathbf Aboldsymbolcdotleft(boldsymbolnablaboldsymboltimesmathbf Aright)vphantomdfracabright] boldsymbol – boldsymbol nabla boldsymbol cdot left[frac12left(dfracpartial mathbf Apartial tright)boldsymboltimesmathbf Aright]
etiqueta 09 etiqueta 09 end ecuación
es decir
begin ecuación boldsymbol boxed 2 boldsymbol = left ( dfrac partial mathbf A partial t right) boldsymbol cdot left ( boldsymbol nabla boldsymbol times mathbf A right) boldsymbol = dfrac partial c partial t left[frac12 c mathbf Aboldsymbolcdotleft(boldsymbolnablaboldsymboltimesmathbf Aright)vphantomdfracabright] boldsymbol – boldsymbol nabla boldsymbol cdot left[frac12left(dfracpartial mathbf Apartial tright)boldsymboltimesmathbf Aright]
etiqueta 10 etiqueta 10 end ecuación
De las ecuaciones eqref 02, eqref 06 y eqref 10 tenemos
begin ecuación left ( mathbf E boldsymbol cdot mathbf B right) boldsymbol = boldsymbol – underbrace left ( boldsymbol nabla phi right) boldsymbol cdot left ( boldsymbol nabla boldsymbol times mathbf A right) vphantom left ( dfrac partial mathbf A partial t right) _ boldsymbol boxed 1 boldsymbol – underbrace left ( dfrac partial mathbf A partial t right) boldsymbol cdot left ( boldsymbol nabla boldsymbol times mathbf A right) _ boldsymbol boxed 2 qquad boldsymbol Longrightarrow nonumber end ecuación begin ecuación boxed : : left ( mathbf E boldsymbol cdot mathbf B right) boldsymbol = dfrac partial c partial t left[boldsymbol-frac12 c mathbf Aboldsymbolcdotleft(boldsymbolnablaboldsymboltimesmathbf Aright)vphantomdfracabright] boldsymbol + boldsymbol nabla boldsymbol cdot left[frac12left(dfracpartial mathbf Apartial tright)boldsymboltimesmathbf Aboldsymbol+left(boldsymbolnablaphiright)boldsymboltimesmathbf Aright] vphantom dfrac dfrac a b dfrac a b : : etiqueta 11 etiqueta 11 end ecuación
Entonces, la función escalar invariante de Lorentz $ , left ( mathbf E boldsymbol cdot mathbf B right) , $ es la 4-divergencia de la siguiente función vectorial de 4 dimensiones
begin ecuación boxed : : boldsymbol Xi boldsymbol = left ( boldsymbol xi, eta right) boldsymbol = Biggl ( left[frac12left(dfracpartial mathbf Apartial tright)boldsymboltimesmathbf Aboldsymbol+left(boldsymbolnablaphiright)boldsymboltimesmathbf Aright],izquierda[boldsymbol-frac12 c mathbf Aboldsymbolcdotleft(boldsymbolnablaboldsymboltimesmathbf Aright)vphantomdfracabright] Biggr) : : etiqueta 12 etiqueta 12 end ecuación
$ boldsymbol = ! = ! = ! == ! = ! = ! == ! = ! = ! == ! = ! = ! == ! = ! = ! == ! = ! = ! == ! = ! = ! == ! = ! = ! == ! = ! = ! == ! = ! = ! == ! = ! = ! == ! = ! = ! = $
$ boldsymbol S $B. La función $ , left ( mathbf E boldsymbol cdot mathbf B right) , $ como densidad de Lagrange que produce ecuaciones de movimiento idénticamente cero
Motivado por la respuesta de John Dumancic, doy la prueba de la conclusión anterior.
Entonces, considere que la densidad lagrangiana $ , mathcal L $ es solo esta función
begin ecuación mathcal L boldsymbol = left ( mathbf E boldsymbol cdot mathbf B right) boldsymbol = left ( boldsymbol – boldsymbol nabla phi boldsymbol – dfrac parcial mathbf A parcial t right) boldsymbol cdot left ( boldsymbol nabla boldsymbol times mathbf A derecha) etiqueta C-01 etiqueta C-01 end ecuación
Debemos considerar esta densidad como función de las cuatro ” coordenadas de campo ”, los componentes del 4-vector electromagnético
begin ecuación mathcal A boldsymbol = left (A_0, A_1, A_2, A_3 right) boldsymbol = left ( phi, mathbf A right) tag C-02 label C-02 end ecuación
y sus derivadas de primer orden en el tiempo y el espacio de modo que
begin ecuación mathcal L left (A _ jmath, dfrac parcial A _ jmath parcial t, dfrac parcial A _ jmath parcial x_k right) qquad left ( jmath = 0,1,2,3 right) qquad left (k = 1,2,3 right) tag C-03 label C- 03 end ecuación
Expresamos la densidad lagrangiana de la ecuación eqref C-01 en términos de estas coordenadas
$ parcial t} derecha) izquierda ( dfrac parcial A_3 parcial x_2 boldsymbol – dfrac parcial A_2 parcial x_3 derecha) boldsymbol – izquierda ( dfrac Particular phi Particular X_2 Boldsymbol + dfrac Particular A_2 Particular T right) left ( dfrac Particular A_1 Particular x_3 boldsymbol – dfrac parcial A_3 parcial x_1 derecha) sin número \ & boldsymbol – izquierda ( dfrac parcial phi parcial x_3 boldsymbol + dfrac parcial A_3 parcial t derecha) izquierda ( dfrac parcial A_2 parcial x_1 boldsymbol – dfrac parcial A_1 parcial x_2 derecha) etiqueta C-04 etiqueta C-04 end align
Las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange son
begin ecuación frac parcial parcial t left[fracpartial mathcalLpartial left(dfracpartial A_jmathpartial tright)right] boldsymbol + sum_ k boldsymbol = 1 ^ k boldsymbol = 3 frac partial partial x_ k left[fracpartial mathcalLpartial left(dfracpartial A_jmathpartial x_kright)right] boldsymbol – frac parcial mathcal L parcial A _ jmath boldsymbol = 0 qquad left ( jmath = 0,1,2,3 right) etiqueta C-05 etiqueta C-05 end ecuación
Para $ jmath boldsymbol = 0 🙁 A_0 boldsymbol = phi) $ tenemos
begin ecuación frac parcial parcial t refuerzo izquierda ( frac parcial mathcal L parcial desbordamiento : , _ boldsymbol cdot phi right) _ 0 boldsymbol + underbrace boldsymbol nabla boldsymbol cdot overbrace left ( frac partial mathcal L) parcial boldsymbol nabla phi vphantom overset : , _ boldsymbol cdot phi right) ^ boldsymbol – left ( boldsymbol nabla boldsymbol times mathbf A right) _ 0 boldsymbol – underbrace frac partial mathcal L partial phi vphantom overset : , _ boldsymbol cdot phi _ 0 boldsymbol = 0 tag C-06 label C-06 end ecuación
ese es el lhs es un término idénticamente cero. Esto sucede para las tres ecuaciones restantes, por ejemplo para $ jmath boldsymbol = 1 $ tenemos
begin ecuación underbrace frac partial partial t overbrace left ( frac partial mathcal L partial overset : , _ boldsymbol cdot A _1 derecha) ^ dfrac parcial A_2 parcial x_3 boldsymbol – dfrac parcial A_3 parcial x_2 _ dfrac parcial ^ 2 A_2 t parcial parcial x_3 boldsymbol – dfrac parcial ^ 2 A_3 t parcial parcial x_2 boldsymbol + underbrace boldsymbol nabla boldsymbol cdot overbrace left ( frac partial mathcal L partial boldsymbol nabla A_1 vphantom overset : , _ boldsymbol cdot phi right) ^ begin bmatrix 0 \ dfrac partial phi partial x_3 boldsymbol + dfrac partial A_3 parcial t \ boldsymbol – dfrac parcial phi parcial x_2 boldsymbol – dfrac parcial A_2 parcial t end bmatrix _ dfrac parcial ^ 2 A_3 parcial x_2 parcial t boldsymbol – dfrac parcial ^ 2 A_2 parcial x_3 parcial t boldsymbol – underbrace frac parcial mathcal L parcial A_1 vphantom overset : , _ boldsymbol cdot phi _ 0 boldsymbol = 0 etiqueta C-07 etiqueta C-07 end ecuación
eso es un lhs idénticamente cero también. Similarmente para $ jmath boldsymbol = 2,3 $.
Conclusión: la función $ , left ( mathbf E boldsymbol cdot mathbf B right) , $ ya que la densidad lagrangiana por sí sola produce ecuaciones de movimiento idénticamente nulas. Entonces, agregarlo a cualquier densidad lagrangiana del campo electromagnético no tiene ningún efecto en las ecuaciones de movimiento.
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