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Solución:
Cuando éramos pequeños aprendimos que $$ c + a = c + b ; ; iff ; ; a = b $$ y las nociones de epimorfismo y monomorfismo son la misma idea de cancelación pero para funciones o morfismos de una categoría. Simplemente reemplace “$ + $” con “$ circ $“, composición 😉
Ahora bien, a la suma no le importa el orden de sus argumentos, es simétrica: $ x + y = y + x $. Sin embargo, este no es el caso de los morfismos en general.
Como tal tenemos dos propiedades de cancelación y las nombramos
- epi: $ f $ es precancelable, es decir, puede cancelarse al comienzo de una composición; es decir, $$ g circ f = h circ f ; ; iff ; ; g = h $$
- mononucleosis infecciosa: $ f $ se puede cancelar posteriormente, es decir, se puede cancelar al final de una composición; es decir, $$ f circ g = f circ h ; ; iff ; ; g = h $$
Es interesante notar que hablamos de un especial$ f $ tener tal propiedad de cancelación, mientras que para los números sabemos que la propiedad de cancelación tiene para todos los números.
¿Se puede hacer lo mismo para todas las funciones?
No, un contraejemplo inmediato es la función siempre cero $ Z (x) = 0 $. ¡En general, no es ni épico ni mónico! Por lo tanto, para las funciones, estas propiedades no siempre se cumplen. Como tal, podemos refinar nuestra analogía para que se parezca más a una multiplicación que a una suma: $$ text Provisto c ne 0: quad c times a = c times b ; ; iff ; ; a = b $$
Como “siempre $ c $ es distinto de cero, tenemos (pos) cancelación “, podemos decir” Siempre que $ f $ es monic, tenemos post-cancelación “.
Aparte: Eso $ f circ g ; = ; g circ f $ es no generalmente true se puede ver considerando un contraejemplo.
De hecho, considere las funciones $ f (x) = x + 1 $ y $ g (x) = 0 $ luego
$$ (f circ g) (x) = f (g ; x) = f (0) = 1 ; ; neq ; ; 0 = g (x + 1) = g (f ; x) = (g circ f) (x) $$
Recientemente he comenzado a aprender algo de teoría de categorías, y aunque es bastante autónomo (o, al menos, lo básico lo es), a partir de su propia construcción se hizo para generalizar situaciones que surgen en matemáticas (por supuesto, tiene luego desarrolló una importancia intrínseca).
Esto significa que será un poco difícil entender por qué algunas cosas son como son sin algunos ejemplos matemáticos de otros temas.
Las definiciones establecen que un morfismo $ h: X a Y $ es un monomorfismo si y solo si para todo $ f, g: Z a Y $ tenemos que $ hf = hg $. Es decir, $ h $ incorpora la cancelabilidad a la izquierda en una igualdad de morfismos. En el mismo espíritu, $ h $ será un epimorfismo si $ fh = gh $ implica $ f = g $ para todos $ f, g $, es decir, podemos cancelar con la derecha $ h $ de una igualdad de morfismos.
En cierto modo, esto está relacionado con la reversibilidad que mencionaste: si dos morfismos son iguales después de estar compuestos con un monomorfismo, entonces deben ser iguales. Doblemente, si dos morfismos ‘transforman’ un epimorfismo de la misma manera, deben ser iguales. Es decir, epis y monos nos dan información sobre otros morfismos dependiendo de cómo ‘cambian’ o ‘cambian’ por ellos.
Esto también puede proporcionar información (al menos intuitiva) sobre los objetos. No creo que se pueda decir mucho más sin ser un poco técnico, pero probemos con un ejemplo sencillo. Tome los números enteros $ mathbb Z $ y los números racionales (es decir, ‘fracciones’) $ mathbb Q $. Estos son dos ejemplos de anillos, que intuitivamente son objetos matemáticos en los que puedes sumar y multiplicar como estás acostumbrado, pero con mucha más generalidad. Estos forman una categoría, $ operatorname Ring $, y los morfismos son funciones que se comportan bien con respecto a las sumas y multiplicaciones. Concretamente, si $ R $ y $ S $ son objetos de $ operatorname Ring $, entonces un morfismo entre ellos es una función $ f: R a S $ que verifica
(i) $ f (x + y) = f (x) + f (y) $ para todos los elementos $ x $ y $ y $ de $ R $.
(ii) $ f (xy) = f (x) f (y) $ para todos los elementos $ x $ y $ y $ de $ R $.
Veamos un ejemplo: el morfismo de inclusión de los enteros a las fracciones,
$$ iota: mathbb Z flecha derecha mathbb Q \ k mapsto frac k 1 $$
que, en cierto sentido, “no hace nada”: solo estamos pensando en los números enteros en el contexto de las fracciones como un tipo especial de ellos. Sin embargo, a partir de la estructura rígida que tienen los morfismos de $ operatorname Ring $, y con eso quiero decir que verifican algunas propiedades sólidas, no es difícil demostrar que $ iota $ es en realidad un epimorfismo: si $ f iota = g iota $, luego $ f = g $. Lo que esto nos dice es que se trata de esta categoría, basta con ver si dos morfismos se comportan de la misma forma con los enteros, para saber si se comportan de la misma forma con alguna fracción. Espero que esto dé al menos algo de motivación para la utilidad de estos conceptos.
En el contexto del álgebra estándar, una morfismo es un mapa que es transparente a las leyes de los conjuntos estructurados.
Por ejemplo, sea $ X = ( mathbb Z, +) $, enteros con suma, y $ Y = ( mathbb R ^ *, times) $ los reales con multiplicación estándar. En este caso, ambas estructuras son grupos, pero esto no es específico de la definición.
Entonces un morfismo (o homomorfismo) $ f: X rightarrow Y $ es un mapa tal que para cualquier $ a, b in mathbb N, f (a + b) = f (a) times f (b) $. En este caso, $ f (a), f (b) in mathbb R $.
Un ejemplo de esto sería $ f: a mapsto 2 ^ a $. Los valores tomados por $ f $ incluyen $ 2 ^ – 1 = 1/2 $, $ 2 ^ 3 = 8 $ y así sucesivamente. Puede verificar que $ f (a + b) = 2 ^ a + b = 2 ^ a2 ^ b = f (a) f (b) $.
Entonces, un epimorfismo es otra palabra para un sobreyectivamorfismo. A monomorfismo es una forma de denotar un morfismo inyectivo.
Para comprender esto, solo necesita las definiciones de inyectividad y sobrejetividad.
Una función $ phi: A mapsto B $ es inyectiva si tiene la siguiente propiedad: para $ a, b in A $, $ phi (a) = phi (b) Rightarrow a = b $. En otras palabras, no puede asignar dos elementos distintos al mismo valor.
Una función $ phi: A mapsto B $ es sobreyectiva si tiene la siguiente propiedad: para cualquier $ x en B $, puede encontrar un $ a $ en $ A $ tal que $ phi (a) = x $. En otras palabras, puede construir el conjunto $ B $ solo aplicando $ phi $ a los elementos de $ A $.
En nuestro caso, puede comprobar que $ f $ es un monomorfismo. Sin embargo, $ f $ nunca alcanzarán números reales como 3, por lo que no es una función biyectiva, es decir, esto no es un epimorfismo.
Si tienes algún recelo o disposición de refinar nuestro noticia puedes añadir una aclaración y con placer lo analizaremos.