Puede que se de el caso de que encuentres algún problema en tu código o trabajo, recuerda probar siempre en un ambiente de testing antes subir el código al proyecto final.
Solución:
Considera un número real $A$ y llévalo a la potencia $i$. Para que nuestro sistema de números complejos sea consistente, entonces $A^i$ debe ser un número complejo; es decir, debe haber dos números reales $x$ y $y$, que dependen de $A$, tales que:
$A^i=x+iy$
Además, podemos escribir $A^-i=x-iy$ para los mismos $x$ e $y$. Por lo tanto:
$x^2+y^2=(x+iy)(x-iy)=A^iA^-i=A^ii=A^0=1$
Hemos demostrado que para cualquier número real $A$, $|A^i|=1$, y por lo tanto $A^i$ corresponde a un número complejo que se encuentra en algún ángulo $theta$ a lo largo del círculo unitario.
Ahora considera las funciones seno y coseno para ángulos extremadamente pequeños $epsilon$. Un pequeño ángulo $epsilon$ corta una rebanada del círculo unitario, y la curvatura de la circunferencia sobre este pequeño ángulo es insignificante. Por lo tanto, podemos pensar en este segmento como un triángulo rectángulo con el ángulo $epsilon$, y la hipotenusa y los lados adyacentes son ambos de longitud uno, ya que corresponden al radio del círculo unitario.
Usando la fórmula para la longitud del arco de un círculo, es fácil determinar que en el triángulo rectángulo formado por la aproximación del ángulo pequeño, la longitud del lado opuesto al ángulo $epsilon$ es igual a $epsilon$. Podemos leer las coordenadas $(x,y)$ de este diagrama (que son $(cos(epsilon),sin(epsilon))$), y por lo tanto concluimos que para ángulos muy pequeños $epsilon$:
$sen(epsilon) approx epsilon hspace10mm cos(epsilon) approx 1$
por lo tanto $cos(epsilon) + isin(epsilon) approx 1+iepsilon$, y por lo tanto para números reales $A$ que son extremadamente cercanos a uno (de modo que $lnA$ es pequeño), el número complejo $ A^i$ se encuentra aproximadamente en un ángulo $lnA$ a lo largo del círculo unitario, ya que $A^i=e^ilnAapprox 1+i(lnA)$.
Digamos que quieres averiguar qué es $x^a + ib$, luego, como mencionaste, comienzas escribiendo
$x^a + ib = e^a ln(x) + ib ln(x)$
Sin embargo, esto se puede dividir como
$ e^a ln(x) + ib ln(x) = e^a ln(x) e^ib ln(x) = x^ae^{ib ln(x) ps
y luego puedes usar la fórmula de Euler para cuidar el exponente imaginario, de modo que
$x^a + ib = x^a cos(b ln(x)) + ix^a sin(b ln(x)) $
Sin embargo, esta fórmula no proporciona mucha intuición sobre lo que realmente está sucediendo. Usted mencionó que puede entender la exponenciación de enteros como una simple multiplicación repetida, pero no creo que esa sea la forma correcta de verlo en un análisis complejo. Creo que es mucho mejor ver la exponenciación geométricamente.
Al exponenciar un número real por un valor complejo, encontramos que
$x^a + ib = x^ae^ib ln(x) $
entonces, exponenciar $x$ por $a + ib$ te da el punto en el plano con magnitud $x^a$ y ángulo $b ln(x)$.
La exponencial compleja $e^z$ para la compleja $z=x+iy$ conserva la ley de los exponentes de la exponencial real y satisface $e^0=1$.
Por definición
$$e^z=e^x+iy=e^xe^iy=e^x(cos y+isen y)$$
que concuerda con la función exponencial real cuando $y=0$.
El logaritmo principal de $z=x+iy$ es el número complejo
$$w=textRegistroz=log |z|+iarg z$$
de modo que $e^w=z$, donde $arg z$ (el argumento principal de $z$) es el número real en $-pilt arg zle pi$, con $x=| z|cos (arg z)$ y $y=|z|sin (arg z)$.
La potencia compleja es
$$z^w=e^wtext Registro z.$$
En su ejemplo, $z=x,w=i$ es, por lo tanto, $x^i=e^i text Logx$.
Si $x>0$, $textLog x=log x$. Si $x<0$, $textLog x=log |x|+ipi$.
Ejemplos:
$(-1)^i=e^itextRegistro(-1)=e^i(ipi)=e^-pi$.
$2^i=e^itextLog (2)=e^ilog 2=cos (log 2)+isin (log 2)$.
$(-2)^i=e^itextLog(-2)=e^i(log 2+ipi)=e^ilog 2e^- pi=(cos (log 2)+isen (log 2))e^-pi.$
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