Encontramos la contestación a este disgusto, al menos eso pensamos. Si tienes alguna inquietud puedes escribirlo en el apartado de comentarios, que sin dudarlo te ayudaremos
Solución:
La suma y la multiplicación son conmutativas, por lo que solo hay uno función inversa.
Los exponentes no son conmutativos; $2^8 not= 8^2$. Así que necesitamos dos diferentes funciones inversas.
Dado $b^e = r$, tenemos la operación “$n$ésima raíz”, $b = sqrt[e] r$. Resulta que esto en realidad se puede escribir como un exponente en sí mismo: $sqrt[e] r = r^1/e$.
Nuevamente, dado $b^e = r$, tenemos $e = log_b r$, el “logaritmo base-$b$ de $r$”.
Estas funciones son las logaritmos, y son fundamentalmente importantes. Para $a = b^c$ (donde $b > 0$) nosotros escribimos:
$$c = log_b a,$$
que podemos tomar como la definición de $log_b$. Leemos la operación como “logaritmo, base $b$o “base $b$ logaritmo”.
En particular, tenemos $$log_a (a^b) = b qquadtextyqquad a^log_a b = b.$$ De especial interés es el logaritmo naturaldenotado por $ln$ o $registro$el logaritmo de base $e$. (Nota: a veces $registro$ también puede denotar base $10$o base $2$dependiendo del contexto.)
Las identidades logarítmicas corresponden a identidades exponenciales. Del ejemplo, de la definición podemos concluir que $$log_b (pq) = log_b p + log_b q$$ (por $p,q > 0$), que corresponde a la identidad $b^pq = b^pb^q$.
Tal vez en contra de la intuición, a veces es conveniente definir primero el logaritmo natural y luego definir la función exponencial $x mapas a e^x$ ser su inversa, lo que lleva al nombre ligeramente anticuado antilog para una función exponencial $x mapas a b^x$.
Editar Algunas de las otras respuestas aquí señalaron con bastante razón que también se puede preguntar sobre el inverso de las funciones donde la variable está en la base, es decir, funciones $x mapas a x^a$e inversas de estas funciones$^*$ (al menos cuando $a > 0$) son solo $x mapas a x^1/a$que a menudo escribimos como $x mapsto sqrt[a]x$. Estas funciones se llaman funciones de potencia (nótese que el inverso de una función de potencia es nuevamente una función de potencia), y nos reservamos el nombre funcion exponencial para funciones $x mapas a b^x$ donde la variable está en el exponente, es decir, aquellos a los que los logaritmos son inversos.
$^*$Para algunos $a$ (en particular, incluso enteros), necesitamos restringir el mapa $x mapas a x^a$ para ps[0, infty)$ in order to take an inverse.
There are two inverse operations of exponentiation.
Logarithm
$$
log _b a
$$
It’s read “base-$b$ logarithm of $a$”.
And it means “the exponent which $b$ must be raised to, so that the result is $a$”.
Root
$$
sqrt[b] un $$
Se lee “$b$-ésima raíz de $a$”. Y significa “el número que, elevado a $b$, produce $a$”.
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