David, miembro de este equipo, nos ha hecho el favor de escribir esta reseña ya que conoce muy bien este tema.
Solución:
Aquí hay algunos ejemplos intuitivos.
- Cada conjunto único $p$
- El círculo $(x,y) in mathbbR^2 : x^2 + y^2 = r^2$.
- La recta $y=mx + b$
Los dos últimos pueden generalizarse, por supuesto.
Editar: aquí hay un poco más de intuición: el avión en $mathbbR^3$
Tome algún punto que no esté en el plano. ¿Ves cómo puedes encontrar una bola abierta a su alrededor que no interseca el plano? Piense en el avión como “delgado”, por así decirlo. Esto te dice que su complemento está abierto, por lo que el plano está cerrado. Y por la “delgadez”, ningún punto del plano tiene una bola abierta a su alrededor contenida en el plano.
Así que ahora tenemos un punto, una línea y un plano como conjuntos densos cerrados en ninguna parte en $mathbbR, mathbbR^2, mathbbR^3$ respectivamente. ¿Puedes intentar generalizar para encontrar un conjunto cerrado con interior vacío en $mathbbR^n$?
Considere cada conjunto finito en la topología euclidiana en $mathbbR$
También $mathbbZ$ está cerrado porque $mathbbR$ $mathbbZ=bigcup_n in mathbbZ(n,n+1)$
O el conjunto $A= 1/n taza $
O el conjunto de Cantor que no contiene intervalo pero es cerrado como intersección de conjuntos cerrados.
O Cada línea y curva en el plano.
Todos estos conjuntos por supuesto con la topología euclidiana.
También los conjuntos finitos en $mathbbN$ con respecto a la topología cofinita.
Me sorprende que nadie haya propuesto este: $emptyset$.
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