Basta ya de buscar por internet porque llegaste al espacio indicado, poseemos la solución que buscas y sin complicaciones.
Solución:
Para el límite, como dice Poton, el intervalo abierto es un contraejemplo. Para interior considerar unión de discos cerrados de radio 1 centrados en (-1,0) y (1,0) en el plano.
Seguramente está conectado pero su interior, es decir, la unión de discos abiertos no está conectado.
Para la primera parte: Sea $X=a,b,c,d$ y la topología en $X$ es $tau=X,phi,a,b ,a,b,a,b,d\$. Sea $A=a,b,c$ el conjunto $A$ es conexo pero el interior del mismo es $mathrmint(A)=a,b$ es desconectado.
para la segunda parte considere los intervalos abiertos.
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