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Solución:
Dado un resorte con constante elástica $k$ cuya extensión es en la dirección $x$, la magnitud de la fuerza que ejerce el resorte está dada por $$ |vecF| = F = k|Ll| $$ donde $L$ es su longitud y $l$ es su longitud de equilibrio. Ahora, imagine que las dos masas están en las posiciones $x_1$ y $x_2$ con $x_2>x_1$, entonces la longitud del resorte está dada por $L = x_2 – x_1$ de modo que la magnitud de la fuerza ejercida por el el resorte está dado por $$ |vecF| = F = k|(x_2-x_1) – l| $$ Ahora, si $x_2 – x_1>l$, entonces el resorte se estira, en cuyo caso la masa de la derecha siente una fuerza de esta magnitud hacia la izquierda, y la masa de la izquierda siente una fuerza de la misma magnitud hacia la derecha; beginalign F_1 = k(x_2-x_1 – l) \ F_2 = -k(x_2 – x_1 – l) endalign Esto da como resultado las siguientes dos ecuaciones de movimiento beginalign mddot x_1 = -k(x_1-x_2 + l) \ m ddot x_2 = -k(x_2 – x_1 – l) endalign Esencialmente, la diferencia en el signo de $l$ se puede atribuir a la tercera ley de Newton ; las fuerzas sobre cada masa deben ser iguales y de magnitud, pero de dirección opuesta.
Si se incluyera la fricción en la superficie, digamos en aras de la concreción que el coeficiente de fricción cinética es $mu_k$, entonces cada objeto experimenta una fuerza igual en magnitud a $mu_k m_1g$ para la masa 1 y $mu_k m_2 g $ por masa $2$. El signo del término de la fuerza de fricción debe elegirse de modo que siempre dé una fuerza de fricción opuesta a la dirección del movimiento. Una forma de hacer esto es multiplicar la magnitud de la fuerza por $-dot x/|dot x|$ que es $-1$ cuando el objeto se mueve hacia la derecha y $+1$ cuando el objeto se mueve hacia la derecha. la izquierda.
Por lo tanto, con la fricción, las ecuaciones de movimiento se pueden escribir como beginalign mddot x_1 = -k(x_1-x_2 + l) – mu_k m_1gfracdot x_1dot x_1 m ddot x_2 = -k(x_2 – x_1 – l) – mu_k m_2gfracdot x_2dot x_2 endalign Como puedes ver, estas ecuaciones diferenciales son considerablemente más difíciles de resolver en general.
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