Nuestros mejores investigadores agotaron sus depósitos de café, buscando día y noche por la solución, hasta que Tomás encontró el hallazgo en Bitbucket así que ahora la compartimos aquí.
Solución:
En mi experiencia, el producto punto se refiere al producto $sum a_ib_i$ por dos vectores $a,bin Bbb R^n$, y ese “producto interno” se refiere a una clase más general de cosas. (También debo señalar que el producto escalar real se extiende a un producto escalar complejo usando el conjugado complejo: $sum a_ioverlineb_i)$.
La definición de “producto interno” a la que estoy acostumbrado es un tipo de forma biaditiva de $Vtimes Vto F$ donde $V$ es un espacio vectorial $F$.
En el contexto de los espacios vectoriales $Bbb R$, la forma biaditiva suele tomarse como simétrica y $Bbb R$ lineal en ambas coordenadas, y en el contexto de los espacios vectoriales $Bbb C$, se toma como Hermetiana-simétrica (es decir, invertir el orden del producto da como resultado el complejo conjugado) y $Bbb C$ lineal en la primera coordenada.
Los productos internos en general se pueden definir incluso en espacios vectoriales de dimensión infinita. El ejemplo integral es un buen ejemplo de eso.
El producto punto real es solo un caso especial de un producto interno. De hecho, es incluso positivo definido, pero los productos internos generales no tienen por qué serlo. El producto escalar modificado para espacios complejos también tiene esta propiedad definida positiva y tiene la simetría hermitiana que mencioné anteriormente.
Los productos internos se generalizan por formas lineales. Creo que he visto a algunos autores usar “producto interno” para aplicarlos también, pero la mayoría de las veces sé que los autores se apegan a $Bbb R$ y $Bbb C$ y requieren una definición positiva como axioma. Las formas bilineales generales permiten formas indefinidas e incluso vectores degenerados (unos con “longitud cero”). La versión ingenua del producto escalar $sum a_ib_i$ aún funciona sobre cualquier campo $Bbb F$. Otra cosa a tener en cuenta es que en muchos campos la noción de “definido positivo” no tiene ningún sentido, por lo que puede desaparecer.
Un producto punto es un producto interno muy específico que funciona en $BbbR^n$ (o más generalmente $BbbF^n$, donde $BbbF$ es un campo) y se refiere a el producto interior dado por
$$(v_1, …, v_n) cdot (u_1, …, u_n) = v_1 u_1 + … + v_n u_n$$
De manera más general, un producto interno es una función que toma dos vectores y da un número complejo, sujeto a algunas condiciones.
En mi experiencia, el producto interno se define en espacios vectoriales sobre un campo $mathbb K$ (dimensión finita o infinita). Sin embargo, el producto punto se refiere específicamente al producto de vectores en $mathbb R^n$.
Calificaciones y comentarios
Si tienes algún aprieto o capacidad de aclarar nuestro post te recordamos ejecutar una anotación y con placer lo leeremos.