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Solución:
Tenga en cuenta que $delta^i_j=delta^i_kdelta^k_j$. Entonces $$nabla_ldelta^i_j=nabla_l(delta^i_kdelta^k_j)=C(k,m)[nabla_l(delta^i_kdelta^m_j)]=C(k,m)[delta^i_knabla_ldelta^m_j+delta^m_jnabla_ldelta^i_k]=2nabla_ldelta^i_j$$ donde $C(k,m)$[…] se define como el operador de contracción que contrae los índices $k$ y $m$. Así $nabla_ldelta^i_j=0$.
Las derivadas parciales $partial_lambda delta^mu_nu$ son claramente cero porque los componentes del delta de Kronecker son funciones constantes de las coordenadas del espacio-tiempo (uno o cero).
Uno siempre puede ir a un marco local de Minkowski donde los símbolos de Christoffel se desvanecen y allí, la derivada covariante es igual a la parcial y también se desvanece. Debido a que el delta de Kronecker es un tensor, su derivada covariante también debe ser la misma en todos los demás marcos.
Alternativamente, también se pueden escribir explícitamente los términos del símbolo de Christoffel: $$ nabla_lambda delta^mu_nu = partial_lambdadelta^mu_nu – Gamma_lambdakappa^mu delta^kappa_nu – Gamma_lambdanu^kappa delta_kappa^mu = 0 + Gamma^mu_lambdanu-Gamma^mu_ lambdanu = 0.$$ La cancelación entre los dos términos de conexión es la misma cancelación que también permite ignorar pares de índices contraídos en el tensor. Sin embargo, no creo que sea útil “derivar” la segunda declaración de la primera, porque la primera no usa explícitamente el delta de Kronecker en absoluto, por lo que se debe tomar la afirmación de que el primer hecho “implica” el otro. con un grano de sal.
Bueno, si tuviera que decir a qué se refería, sería que $$ T^lambda_lambdarho = T^lambda_kapparho delta^kappa_lambda $$ y la derivada $nabla_mu$ de esta suma de productos se puede escribir usando la regla de Leibniz como $$nabla_mu T^lambda_lambdarho = (nabla T)_ mu^lambda_kapparho delta^kappa_lambda + T^lambda_kapparho nabla_mu delta^kappa_lambda $$ La suposición es la ecuación sin el último término $nabladelta$, por lo que este último término tiene que desaparecer para cualquier tensor $T^lambda_kapparho$, lo que implica que todo el $ El objeto nabla_mu delta^kappa_lambda$ también es cero.
Puedes escribir el tensor delta de Kronecker como un producto del tensor métrico
$$nabla_a(delta^a_b) = nabla_a (g_bc g^ac) = nabla_a (g_bc g^ac) = g_bc nabla_a g^ac + g^acnabla_a g_bc $$
Como recordarás, la derivada covariante del tensor métrico es $0$ en relatividad general.
Versión sin usar la metricidad de la conexión:
$nabla_a (delta_b^a T^b) = nabla_a T^a$, pero también $nabla_a (delta_b^a T^b) = delta_b^a nabla_a T^b + T^b nabla_a delta_b^a$, por lo que al contraer el delta con la conexión, esto nos da
$$nabla_a T^a = nabla_a T^a + T^b nabla_a delta_b^a$$
que solo sera true para todo $T$ si $nabla_a delta_b^a = 0$.
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