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Solución:
Puede aplicar la regla del producto al diferenciar $vec vcdotvec v =$constant.
La idea intuitiva es que $vec v(t)$ traza una curva en una esfera centrada en el origen (es decir, imagina $vec v(t)$ como un vector de radio en movimiento), mientras que $vec v'( t)=vec a(t)$ es tangente a la esfera y, por lo tanto, perpendicular al radio en el punto de tangencia, a saber, $vec v(t)$.
También hay una descripción geométrica de lo que esto dice en términos de la curva original, digamos $vec x(t)$, de la cual $vec v(t)$ da la velocidad. Como $vec v(t)$ da un vector tangente a la trayectoria de $vec x(t)$, y en tu caso $vec a(t)$ es perpendicular a $vec v(t)$, $vec a(t)$ es perpendicular a la trayectoria de la curva original $vec x(t)$.
La aceleración puede ocurrir por 2 razones. En general, la componente de $vec a(t)$ en la dirección de la trayectoria (u opuesta a esta dirección) indica cómo cambia la velocidad, mientras que la componente de $vec a(t)$ perpendicular a la trayectoria le dice cómo está cambiando la dirección. Entonces, nuevamente, en caso de que la velocidad sea constante, $vec a(t)$ es perpendicular a la curva. Su dirección te dice en qué dirección está girando $vec x(t)$, mientras que su magnitud te dice qué tan rápido está cambiando de dirección $vec x(t)$. Esta última cantidad es un múltiplo constante de la curvatura de $vec x(t)$.
El camino más corto es darse cuenta de que:
$$v^2=vecvcdotvecv$$
Después de derivar: $$2vfracdvdt=2vecvcdotfracdvecvdt$$ Listo.
Si $v(t) = bigl(x_1(t),x_2(t),ldots,x_n(t)bigr)$ (no sé en qué dimensión estás trabajando), entonces se da la velocidad por $$||v(t)|| = sqrt x_1(t)^2 + cdots + x_n(t)^2.$$ Como esto es constante, digamos igual a $k$, entonces tienes $$k^2 = x_1(t)^ 2 + cdots + x_n(t)^2.$$
Ahora tome derivados con respecto a $t$. Compare eso con $vcdot a$ (recordando que $a(t) = v'(t)$).
(Por supuesto, si $fracdvdt$ es cero, entonces también es perpendicular a $v(t)$, ya que $mathbf0$ es perpendicular a todo vector…)
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