Solución:
Primero resuelva algunas ecuaciones cuadráticas para encontrar $ y_2 $, $ x_3 $ y $ y_3 $.
Entonces, dado que cada una de las esferas es tangente a $ z = 0 $ así como al plano misterioso, su centro debe estar en el plano que biseca el ángulo formado entre estos dos planos. Podemos calcular una ecuación para bisecar plano, porque está definido por los centros.
Ahora refleja el plano $ z = 0 $ sobre el plano que se biseca.
Obtengo: -150,235 x-89,3299 y-128,83 z + 1729,87 = 0 para la ecuación del plano tangente. (Aproximación cercana.)
Puntos tangentes:
Esfera n. ° 1: {3.4594896600074643,2.05701926455194, 7.966581035101458`}
Esfera n. ° 2: {2.0756918905582737,8.980177236680767, 4.779953859745328`}
Esfera n. ° 3: {5.375454589335715,5.728584817849962, 3.1866359029829208`}
Puntos centrales de la esfera:
Punto central de la esfera n. ° 1: {0, 0, 5}
Punto central de la esfera n. ° 2: {0., 7.74597, 3.}
Punto central de la esfera n. ° 3: {3.99166, 4.90578, 2.}
Calculé la ecuación del plano tangente usando un plano a través de 3 puntos. Los primeros 2 puntos son vértices de 2 conos que envuelven la esfera n. ° 1 y la esfera n. ° 2, luego la esfera n. ° 1 y la esfera n. ° 3. Piense en la línea que conecta los vértices como una línea de bisagra que se encuentra en el plano tangente. Seleccione un tercer punto cuyas coordenadas xey estarán cerca del punto tangente en la esfera # 1. Reduzca o agregue a la coordenada z según sea necesario para bajar o subir el plano tangente. Trace cada paso como ayuda visual. Usando Mathematica, usé NMinimize para decirme qué tan cerca estaba el plano tangente de la esfera # 1. Cuando estuve satisfecho con los resultados, tomé las coordenadas como punto tangente. Repita esto con las otras 2 ecuaciones de esfera y la ecuación del plano tangente para obtener los otros 2 puntos tangentes.
Saludos,
Bill W.