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Solución:
La interpretación obvia de densidad de agujeros negros es la masa del agujero negro dividida por el volumen dentro del horizonte de eventos. Debemos ser un poco cautelosos al tomar esto demasiado literalmente porque el volumen dentro del horizonte no es independiente de las coordenadas, por lo que diferentes observadores medirán diferentes densidades. Sin embargo, podemos calcular fácilmente la densidad medida por el observador de Schwarzschild.
El volumen dentro del horizonte de eventos es:
$$ V = tfrac43pi r_s^3 $$
donde $r_s$ es el radio de Schwarzschild, por lo que la densidad es simplemente:
$$ rho = fracMV = fracMtfrac43pi r_s^3 $$
El radio de Schwarzschild es:
$$ r_s = frac2GMc^2 $$
Poniendo este valor en la ecuación de la densidad y reordenando obtenemos:
$$ rho = frac3c^632 pi G^3 M^2 $$
Entonces, la densidad depende solo de la masa del agujero negro, lo cual tiene sentido porque sabemos que los agujeros negros se caracterizan completamente por su masa, giro y carga.
Hay una gran cantidad de constantes en esa ecuación, y podría ser un poco más fácil de entender si la escribimos en la forma:
$$ rho aprox. 1,85 times 10^19 frac1m^2 $$
donde ahora $m$ es la masa del agujero negro en masas solares, es decir, unidades donde $1$ significa la misma masa que el Sol. Con esta ecuación podemos ver inmediatamente que un agujero negro con la misma masa que el Sol tendría una densidad (enormemente alta) de $1,85 times 10^19$ kg/m$^3$. Alternativamente, un agujero negro súper supermasivo con una masa de 4.300 millones de soles tendría una densidad igual a uno, es decir, la misma densidad que el agua.
Los agujeros negros son realmente difíciles de obtener una densidad. Básicamente, son tan densos que no existe un mecanismo conocido para proporcionar suficiente fuerza hacia el exterior para contrarrestar la atracción de la gravedad hacia el interior, por lo que colapsarán en un tamaño infinitesimalmente pequeño. Por supuesto, eso no parece probable, parece probable que haya algo que evite que el volumen sea 0, pero es extremadamente denso.
Un método alternativo para medir el volumen de un agujero negro es tomar el radio más allá del cual la luz no puede escapar, también conocido comúnmente como horizonte de eventos. Wikipedia tiene un gran artículo sobre los tamaños y masas potenciales de los agujeros negros, usando el horizonte de eventos. Aquí hay algunos valores de ejemplo:
Agujero negro estelar: masa = 2$times$10$^31$ kg, volumen = 3,4$times$10$^12$ m$^3$. Entonces, la densidad sería masa/volumen, o 6$times$10$^18$ kg/m$^3$.
Tamaño galáctico: masa es 2$times$10$^39$ kg, volumen= 10$^37$ m$^3$, densidad= 200 kg/m$^3$.
Parece que cuanto más grandes son, menos densos serían, pero solo si consideras el horizonte de eventos como el límite. Por supuesto, no sabemos qué hay más allá de un horizonte de sucesos, así que…
La densidad de un agujero negro no es algo bien definido. Dependiendo de lo que entiendas por densidad y de qué tipo de agujero negro estés hablando, la “densidad” puede ser cero, infinito o cualquier valor intermedio.
Un agujero negro de Schwarzschild es una solución de vacío a las ecuaciones de campo de Einstein, lo que significa que este tipo de espacio-tiempo de agujero negro consiste en nada más que espacio vacío, En todas partes. Por lo tanto, en este sentido, la densidad de un agujero negro puede ser cero.
Los agujeros negros astrofísicos reales tienen que formarse por colapso gravitacional, y los que observamos también parecen estar acumulando materia adicional a algún ritmo. La densidad de la materia que cae es bastante baja, probablemente comparable a un vacío de laboratorio bastante bueno en la Tierra. A medida que este asunto se acerca a la singularidad, podría pensar que se comprimiría, pero en realidad ese no es el caso. Las ecuaciones de campo de Einstein dicen que cuando comienzas con una nube de partículas de cierto tamaño y la dejas caer libremente a través del vacío, siempre mantiene un volumen constante. Esta es básicamente una afirmación de que los campos gravitatorios en el vacío son fuerzas de marea. Los objetos que caen no se aplastan, se espaguetizan.
Puede haber singularidades en la relatividad general, llamadas singularidades de curvatura fuerte, que comprimen infinitamente la materia que cae, y es posible que la singularidad de un agujero negro sea una singularidad de curvatura fuerte durante su formación inicial, pero en realidad no lo sabemos.
En este tipo de discusión, a menudo escuchará a la gente decir que la singularidad tiene un volumen cero, por lo que la densidad de la singularidad debe ser infinita. No tan. El volumen de la singularidad no está bien definido, básicamente porque la maquinaria para medir los tamaños de las cosas se descompone en la singularidad, esa es más o menos la definición de una singularidad. De hecho, ni siquiera podemos definir cuántas dimensiones espaciales tiene la singularidad de un agujero negro, por lo que ni siquiera deberíamos pensar en él como un punto.
El horizonte de eventos de un agujero negro tiene un tamaño definible. Cuando tratamos de definir cosas como esta en la relatividad general, se complica porque GR no tiene un conjunto preferido de coordenadas. Sin embargo, el área de un agujero negro está bien definida y es independiente de las coordenadas. Así que ciertamente podemos tomar la masa de un agujero negro y dividirla por su área y obtener un resultado significativo, pero esto no tiene unidades de densidad. Para una esfera en el espacio euclidiano, es cuestión de álgebra trivial encontrar su volumen en términos de su área. Pero el espacio dentro de un agujero negro no es en absoluto euclidiano. ni siquiera es static, por lo que el volumen depende de la elección de la superficie espacial. Un artículo de Christodoulou y Rovelli, “¿Qué tan grande es un agujero negro?”, argumenta que el volumen depende en cierto sentido del tiempo y puede ser muchos, muchos órdenes de magnitud mayor que el valor euclidiano — en su análisis, diverge al infinito para $trightarrowinfty$. Entonces, podríamos tratar de dividir la masa del agujero negro por el volumen y obtener algún tipo de densidad promedio, pero no sería un número finito bien definido.
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