Te damos el hallazgo a este atasco, o por lo menos eso pensamos. Si sigues con alguna duda dínoslo, que para nosotros será un placer responderte
Solución:
De la respuesta de John Omielan, vemos que estamos buscando un número $P=abcd$ que se puede expresar como el producto de dos números de la forma $k^2-1$ de tres maneras diferentes.
Tenga en cuenta que $Ple N(N-1)(N-2)(N-3)$, tan limitado $N$ o $P$ no hace mucha diferencia.
Puedes empezar a buscar números de la forma $P=(r^2-1)(s^2-1). esto tiene un costo $O(N^2/2)$, que es justo mejor que la fuerza bruta. Luego busca números de la forma $k^2-1$ que dividen $P$. No es necesario buscar divisores mayores que $sqrt P$, entonces tiene un costo $O(sqrt[4]P)=O(N)$. entonces el costo total es $O(N^3/2)$.
Si encuentras dos divisores más de $P$$d_1$ y $d_2$ de la forma $k^2-1$, solo comprueba si $P/d_1$ y $P/d_2$ también son de esta forma.
Encontrar $a,b,c,d$, suponemos que ya tenemos los seis divisores $d_1.
Ahora, $d_1=ab$, $d_2=ac$. Entonces $d_1/d_2=b/c$, pero $bc=d_3$, entonces
$$b=sqrtfracd_1d_3d_2$$
Ahora, desde $d_1=ab$ usted obtiene $a$, etc
Greg Martin muestra que el número de tales se cuadriplica hasta $N$ es asintotico a $CN^1/3registro N$, donde $C=2^4/3over3Gamma(2/3)^3$, lo cual es sobre $0.33828$.
Esta es solo una respuesta parcial, pero creo que podría ayudarlo a brindarle una dirección a seguir para verificar esto más a fondo. Su requerimiento de cada par de productos más $1$ ser cuadrados perfectos conduce al siguiente conjunto de ecuaciones
$$ab + 1 = s_1^2 iff ab = s_1^2 – 1 tag1labeleq1$$
$$ac + 1 = s_2^2 iff ac = s_2^2 – 1 tag2labeleq2$$
$$anuncio + 1 = s_3^2 iff anuncio = s_3^2 – 1 tag3labeleq3$$
$$bc + 1 = s_4^2 iff bc = s_4^2 – 1 tag4labeleq4$$
$$bd + 1 = s_5^2 iff bd = s_5^2 – 1 tag5labeleq5$$
$$cd + 1 = s_6^2 iff cd = s_6^2 – 1 tag6labeleq6$$
Luego, eqrefeq1 por eqrefeq6 da
$$abcd = (s_1^2 – 1)(s_6^2 – 1) tag7labeleq7$$
Además, eqrefeq2 por eqrefeq5 da
$$abcd = (s_2^2 – 1)(s_5^2 – 1) tag8labeleq8$$
Además, eqrefeq3 por eqrefeq4 da
$$abcd = (s_3^2 – 1)(s_4^2 – 1) tag9labeleq9$$
Combinando eqrefeq7, eqrefeq8 y eqrefeq9 da
$$abcd = (s_1^2 – 1)(s_6^2 – 1) = (s_2^2 – 1)(s_5^2 – 1) = (s_3^2 – 1)(s_4^2 – 1) tag 10etiquetaeq10$$
Por lo tanto, básicamente estás buscando $3$ casos en los que el producto de dos cuadrados distintos $-1$ son iguales entre si. Yo mismo verifiqué un poco este problema y también hice algunas búsquedas breves en línea (tenga en cuenta que tuve algunas dificultades para determinar cuáles son los términos de búsqueda más apropiados), pero no pude encontrar nada más sobre la investigación, si es que hubo alguno. que ha hecho en qué tipo de condiciones, y qué tipo de limitaciones (por ejemplo, hay un número infinito de tales valores), para tener esta ocurrencia de incluso $2$ de estos productos, mucho menos $3$ de ellos, se igualan entre sí.
Comentarios y calificaciones del tutorial
Si posees alguna desconfianza y forma de enriquecer nuestro escrito eres capaz de añadir una interpretación y con mucho placer lo observaremos.