Este grupo de especialistas pasados muchos días de trabajo y recopilar de información, obtuvieron la solución, esperamos que resulte útil para ti para tu plan.
Simplemente aplique la definición. Entonces $$phi * phi (x) = int_-infty^+infty phi(xy)phi(y) dy$$ El integrando es $neq 0$ solo en el caso de que $y, xy in [0,1]$, es decir, $$0 leq y leq 1$$ $$x-1 leq y leq x$$
En el caso de que $x leq 0$ o $x geq 2$, el integrando debe ser $0$, entonces $phi * phi (x) = 0$.
En el caso de que $0 leq x leq 1$ tienes
$$phi * phi (x) = int_0^x dy = x$$
En el caso de que $1 leq x leq 2$ se tiene
$$phi * phi (x) = int_x-1^1 dy = 2-x$$
Entonces
$$phi * phi (x) = begincasos x & text si 0 leq x leq 1\ 2-x & text si 1 leq x leq 2\ 0 & text de lo contrario endcasos $$
Me siento desesperanzado para el examen parcial de mañana, así que agregué mi respuesta a la pregunta de “Futuro profesor:” $$phi(x) = begincases 1 & text if 0 leq x leq 1 & textde lo contrario endcasos $$ La respuesta de esta convolución debería ser: $$phi_[0,1]*fi_[0,1](x) = begincasos 0 & xleq 0\x & 0 leq x leq 1 \ 2-x & 1 leq x leq 2 \0 & xgeq 2 end casos$$ Para ver por qué, escribimos convolución en la forma: $$phi_[0,1]*fi_[0,1](x) = int_mathbbR phi_[0,1]*fi_[0,1](xy)dy = int_0^1phi_[0,1](xy)dy$$ Esta es la definición de convolución, ya debería saberlo “señor”
Para $x leq 0,; y en [0,1]$, tenemos $phi_[0,1](xy) = 0$, por lo que la integral es igual a 0.
Por $x,y in[0,1]$, tenemos $phi_[0,1](xy) = 1$ cuando $0 leq y leq x$, entonces la integral es igual a x.
Por $x in [1,2]y en [0,1]$, tenemos $phi_[0,1](xy) = 1$ cuando $x-1 leq y leq 1$, entonces la integral es igual a $2-x$.
Para $x geq 2$, $y in [0,1]$, tenemos $phi_[0,1](xy) = 0$, por lo que la integral es igual a 0.
P/D: Esta respuesta es de un estudiante de Matemáticas Aplicadas sufrido y desesperado en Haunted Building.
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