Solución:
Este problema es más fácil si usamos otra formulación de $ f $ que es un polinomio homogéneo.
Primero probaré el siguiente hecho: un polinomio es homogéneo (en su definición) si y solo si cada monomio que aparece en $ f $ tiene un grado total $ n $.
Prueba: Primero suponga que $ f $ es homogéneo. Escriba $ f $ como una suma de monomios $ f_i $ del grado total $ i $: $ f = f_0 + f_1 + ldots + f_r $. Entonces $$ a ^ nf (x) = f (ax) = f_0 (ax) + f_1 (ax) + ldots + f_r (ax) = f_0 + af_1 (x) + ldots + a ^ rf_r (x). $$ Queremos demostrar que $ n = r $ y que $ f_r $ es el único término en $ f $. Para el primer hecho, observe que ambos lados de las ecuaciones son polinomios en $ a $. El lado izquierdo tiene un grado $ n $ y el lado derecho tiene un grado $ r $. Por tanto, $ n = r $.
Si ponemos $ a = 0 $, vemos que $ f_0 = 0 $. Ahora diferencia con respecto a $ a $ para obtener $$ na ^ {n-1} f (x) = f_1 (x) + 2af_2 (x) + ldots + ra ^ {r-1} f_r (x). $$ Pon $ a = 0 $. Entonces vemos que $ f_1 = 0 $. Continúe, para concluir que $ f (x) = f_r (x) $. Por tanto, hemos demostrado que un polinomio homogéneo debe consistir en una suma de monomios de grado total $ n $.
La otra dirección es fácil y se deja al lector.
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Ahora para tu pregunta. Queremos ver que los factores de un polinomio homogéneo son en sí mismos homogéneos. Hacemos esto por dos factores, ya que el caso general sigue por inducción.
Entonces suponga que $ f = gh $, donde $ f $ es homogéneo, pero uno de $ g, h $ no lo es. Entonces, suponga que $ g $ no es homogéneo. Por lo anterior, esto significa que podemos escribir $ g = g_ {ih} + g_h $, donde $ g_ {h} $ es el término de grado más alto de $ g $ y $ g_ {ih} $ es su “componente no homogéneo “(= el resto). Tenemos $$ f = gh = (g_ {ih} + g_h) h = g_ {ih} h + g_hh. $$ Por razones de grado (el primer término en el lado derecho tiene un grado menor que $ f $, que consta solo de monomios de grado superior), debemos tener $ g_ {gih} h = 0 $, pero $ g_ {ih} $ era distinto de cero, entonces $ h = 0 $, pero esto es absurdo.
Sea $ widehat {f} (x_1, x_2, dots, x_n, t) = f (tx_1, dots, tx_n) $ en el anillo polinomial $ k[x_1,dots,x_n,t]PS Entonces $ f $ es homogéneo si y solo si $$ widehat {f} (x_1, x_2, dots, x_n, t) = t ^ nf (x_1, dots, x_n) $$ Esto es diferente de su definición que es equivalente a este solo en campos infinitos. Por ejemplo, con su definición, cada polinomio sobre el campo de dos elementos sería homogéneo.
Suponga $ f = gh $; entonces tenemos $$ widehat {f} (x_1, dots, x_n, t) = f (tx_1, dots, tx_n) = g (tx_1, dots, tx_n) h (tx_1, dots, tx_n) $ $ Ahora podemos escribir begin {align} g (tx_1, dots, tx_n) & = g_0 + g_1t + dots + g_at ^ a, \ h (tx_1, dots, tx_n) & = h_0 + h_1t + dots + h_bt ^ b, end {align} con $ g_i, h_j in k[x_1,dots,x_n]$, $ g_a ne0 $ y $ h_b ne0 $. Suponga que $ f $ es homogéneo; considere el menor número entero $ c $ tal que $ g_i = 0 $ para $ i
Tenga en cuenta que $ a + b = n $, $ c le a $ y $ d le b $.
Entonces el término de grado $ c + d $ en $ g (tx_1, dots, tx_n) h (tx_1, dots, tx_n) $ es (con $ g_i = 0 $ para $ i> a $ y $ h_j = 0 $ para $ j> b $ y considere todo en el anillo de polinomios en $ t $ con coeficientes en $ k[x_1,dots,x_n]$) $$ g_0h_ {c + d} + g_1h_ {c + d-1} + dots + g_ {c-1} h_ {d + 1} + g_ch_d + g_ {c + 1} h_ {d-1} + dots + g_ {c + d} h_0 = g_ch_d ne0 $$ Como $ f $ es homogéneo, $ widehat {f} $ solo tiene el coeficiente principal (en el grado $ n $) distinto de cero, como polinomio en $ t $ con coeficientes en $ k[x_1,dots,x_n]$, entonces $ c + d = n $ y por lo tanto $ c = a $, $ d = b $.
Por lo tanto $$ widehat {g} (x_1, dots, x_n, t) = t ^ ag_a (x_1, dots, x_n) $$ Evaluando en $ t = 1 $, $$ g (x_1, dots, x_n ) = widehat {g} (x_1, dots, x_n, 1) = g_a (x_1, dots, x_n) $$ así que hemos probado que $$ widehat {g} (x_1, dots, x_n, t ) = t ^ ag (x_1, dots, x_n) $$ y por lo tanto $ g $ es homogéneo. De manera similar para $ h $.