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Solución:
Así es como se encuentra la fracción continua de cualquier número. Digamos que el número es $ x_0 $.
Primero, sea $ a_0 $ el entero más grande que no exceda $ x_0 $. Es decir, $ a_0 = lfloor x_0 rfloor $. Y sea $ b_0 $ la parte fraccionaria de $ x_0 $, que es $ b_0 = x_0 – a_0 $. En nuestro ejemplo, $$ begin align x_0 & = pi, \ a_0 & = 3, \ b_0 & = 0.14159 ldots. End align $$
Ahora escribimos $$ begin align x_0 & = a_0 + b_0 \ & = a_0 + frac 1 x_1 end align $$ donde $ x_1 = frac1 b_0 $. En este caso tenemos $ x_1 = frac 1 0.14159 ldots = 7.0625 ldots $.
Luego repita: sea $ a_1 = lfloor x_1 rfloor, b_1 = x_1-a_1, $ y $ x_2 = frac1 b_1 $. En este caso, tenemos $ a_1 = 7, b_1 approx 0.0625 ldots $ y $ x_2 = 15.996 ldots $. En este punto, tenga $$ pi = 3 + cfrac 1 7+ cfrac 1 15.996 ldots, $$ y en general $$ x_0 = a_0 + cfrac 1 a_1 + cfrac 1 x_2 $$
Repita de nuevo: sea $ a_2 = lfloor x_2 rfloor, b_2 = x_2-a_2, $ y $ x_3 = frac1 b_2 $. En este caso, tenemos $ a_2 = 15, b_1 approx 0.996 ldots $ y $ x_3 = 1.003 ldots $.
Repita como desee, o deténgase si $ x_i $ se convierte en 0, lo que sucederá si y solo si el $ x_0 $ original era racional.
$ A_i $ son los términos de la expansión fraccionaria continua.
Para expresiones como $$ frac e-1 e + 1 $$ hay un algoritmo que puede usar, debido a Bill Gosper, que toma la fracción continua de $ e $ como entrada y emite los términos de $ frac e-1 e + 1 $ como salida. El algoritmo es demasiado largo para describirlo en detalle aquí, pero puede leerlo en la monografía original de Gosper o una explicación más corta aquí. El algoritmo calculará realmente $$ frac ax + b cx + d $$ para cualquier número entero $ a, b, c, d $ y fracción continua $ x $; para $ frac e-1 e + 1 $ necesitas tomar $ a = c = d = 1, b = -1, $ y $ x = e $.
Tenga en cuenta que esto no requieren una aproximación decimal para $ e $; todo lo que requiere es la fracción continua de $ e $, que es simple: $[2; 1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1ldots]PS La monografía de Gosper también proporciona un algoritmo para extraer una fracción continua de $ sqrt x $ cuando se conoce la fracción continua de $ x $.
Preguntó cómo saber, al calcular una fracción continua para $ pi $, cuánta precisión necesita en el decimal de entrada. Suponga que ha calculado que $ pi approx [p_0; p_1, p_2, ldots p_n]PS Entonces sabes que $$[p_0; p_1, p_2, ldots p_n] lt pi lt [p_0; p_1, p_2,ldots, p_n-1]$$ si $ n $ es par, o con las desigualdades invertidas si $ n $ es impar. Ahora el $[p_0; ldots]$ las partes son números racionales, por lo que puede mirar los denominadores y ver si su aproximación a $ pi $ fue lo suficientemente buena como para justificar las fracciones continuas de esa precisión.
También preguntó cómo, si aún no tiene una expansión decimal para $ pi $, puede calcular la fracción continua. La respuesta es que lo calcula de la misma manera que calcula la expansión decimal para $ pi $ en primer lugar: utilizando los términos de una serie infinita. Por ejemplo, puede usar la conocida serie $$ sum_ k = 0 ^ infty frac 2 ^ k + 1 k! ^ 2 (2k + 1)! = Pi. $$ Cada término de esta serie es un solo número racional. Puede comenzar con $ x = 0 $ y usar el algoritmo de Gosper para acumular los términos en $ x $, extrayendo un término de salida cuando sea posible, porque $ x ‘= x + frac pq = frac qx + p 0x + q $ que tiene la forma requerida. Siempre que la parte entera de $ x $ y $ x ‘$ sea la misma, ese es el siguiente término de la fracción continua para $ pi $; de lo contrario, establezca $ x ← x ‘, x’ ← x ‘+ frac pq $ donde $ frac pq $ es el siguiente número racional de la serie, y continúe. (Descargo de responsabilidad: en realidad no he probado esto, pero podría funcionar).
Recientemente, he tenido algunas dudas sobre el uso de los otros métodos enumerados para calcular fracciones continuas. Parece muy inconveniente tener que tener una muy buena aproximación decimal de su número antes de calculando los convergentes que desee.
Aquí hay un artículo de Shiu que proporciona un algoritmo para calcular fracciones continuas sin necesidad de conocer más dígitos decimales en cada etapa; solo requiere que su número ($ pi $ en su caso) sea un cero de una función diferenciable suficientemente agradable. Aquí está el resumen:
Se proporciona un algoritmo para el cálculo de las expansiones fraccionarias continuas de números que son ceros de funciones diferenciables. El método es directo en el sentido de que requiere evaluaciones de funciones en los pasos apropiados, en lugar del valor del número como entrada para realizar la expansión. También se proporcionan datos estadísticos sobre los primeros 10000 cocientes parciales para varios números reales.
En cuanto a demostrar que un número tiene una fracción continua especificada, es mucho más difícil. Por ejemplo, no existe un patrón conocido para los convergentes de $ pi $ (y si pudiera encontrar uno, sería bastante monumental). $ e $ es especial porque su fracción continua sigue un patrón conocido, que se puede probar usando las denominadas aproximaciones de Padé. Vea una prueba aquí.
Los dígitos de una fracción continua están dados por
$$ a_0 = x $$ $$ a_n = (a_ n-1 – lpiso a_ n – 1 rfloor) ^ – 1 $$
$$ d_n = lfloor a_n rfloor $$
Fracción continua de $ pi $:
$$ begin array c n & & a_n & d_n \ hline 0 & & 3.1416 & 3 \ hline 1 & 0.1416 ^ – 1 & = 7.0625 & 7 \ hline 2 & 0.0625 ^ -1 & = 15.9966 & 15 \ hline 3 & 0.9966 ^ – 1 & = 1.0034 & 1 \ hline 4 & 0.0034 ^ – 1 & = 292.6346 & 292 \ hline 5 & 0.6346 ^ -1 & = 1.5758 & 1 \ hline end array $$
Fracción continua de $ e $:
$$ begin array c n & & a_n & d_n \ hline 0 & & 2.7183 & 2 \ hline 1 & 0.7183 ^ – 1 & = 1.3922 & 1 \ hline 2 & 0.3922 ^ -1 & = 2.5496 & 2 \ hline 3 & 0.5496 ^ – 1 & = 1.8194 & 1 \ hline 4 & 0.8194 ^ – 1 & = 1.2205 & 1 \ hline 5 & 0.2205 ^ -1 & = 4.5356 & 4 \ hline end array $$
Fracción continua de $ sqrt e $: $$ begin array c n & & a_n & d_n \ hline 0 & & 1.6487 & 1 \ hline 1 & 0.6487 ^ – 1 & = 1.5415 & 1 \ hline 2 & 0.5415 ^ -1 & = 1.8467 & 1 \ hline 3 & 0.8467 ^ – 1 & = 1.1810 & 1 \ hline 4 & 0.1810 ^ – 1 & = 5.5250 & 5 \ hline 5 & 0.5250 ^ -1 & = 1.9049 & 1 \ hline end array $$
Fracción continua de $ frac e – 1 e + 1 $:
$$ begin array c n & & a_n & d_n \ hline 0 & & 0.4621 & 0 \ hline 1 & 0.4621 ^ – 1 & = 2.1640 & 2 \ hline 2 & 0.1640 ^ -1 & = 6.0993 & 6 \ hline 3 & 0.0993 ^ – 1 & = 10.0711 & 10 \ hline 4 & 0.0711 ^ – 1 & = 14.0554 & 14 \ hline 5 & 0.0554 ^ -1 & = 18.0454 & 18 \ hline end array $$
Es más un cálculo que una prueba. Solo asegúrate de tener suficientes dígitos. Cuando comienzas a mirar las fracciones continuas que son patrones, establecer el patrón en realidad requiere técnicas de prueba en lugar de solo aritmética.
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