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Solución:
El primer paso es detenerse y pensar en el problema en sí. ¿Qué es el coseno? Si recuerdas, la fórmula del coseno (¿recuerdas SOHCAHTOA?) es adyacente sobre la hipotenusa. Entonces, con tu ejemplo de $frac13$, $1$ representa la longitud del lado adyacente y $3$ representa la hipotenusa.
En otras palabras, la hipotenusa va a ser 3 veces más larga que el lado adyacente. Imagínate eso en el círculo unitario. La hipotenusa, como siempre en el círculo unitario, tendría una longitud de 1, y la medida a lo largo del eje $x$ sería solo $0.overline3$.
Ese es un ángulo bastante pronunciado. Solo con esta imagen mental, ya puedes darte cuenta de que va a ser mucho mayor que $45^circ$, y probablemente incluso más de $60^circ$.
Ronald Doerfler, en su libro Navegación a estima: cálculo sin instrumentosenseña un método de estimación para encontrar $arccos(x)$, o $cos^-1(x)$ (ambos solo significan encontrar el ángulo original dado su coseno) en grados.
Su fórmula de estimación para $cos^-1(x)$ es: $sqrt7(1000-1000x)-frac12$
Esto se ve mal, pero se puede hacer mentalmente con la práctica. Usando tu ejemplo de $frac13$, repasemos ese paso a paso.
Esto funciona mejor con decimales, por lo que cambiaremos de $frac13$ a $0.overline3$.
Paso 1: $1000times0.overline3=333.overline3$, que redondearemos a $333$.
Paso 2: $1000-333=667$. Restar de 1000 es fácil. Si aún no está familiarizado con el método mental para esto, este video le dará un repaso rápido.
Paso 3: $667veces7$? ¡Resuelve esto mentalmente de izquierda a derecha! $600times7=4200$, $60times7=420$ y $7times7=49$, por lo que tenemos $4200+420+49=4620+49=4669$.
Paso 4: $sqrt4669$?!? ¿¡¿Cómo se supone que vas a hacer eso en tu cabeza?!? En primer lugar, debe familiarizarse con elevar mentalmente al cuadrado números de 2 dígitos. Sé $65^2=4225$ y $70^2=4900$, así que rápidamente puedo calcular que $sqrt4669$ está entre $65$ y $70$.
Calcule mentalmente que $67^2=4489$. Hmmm… quizás $68^2$ o $69^2$ estarían más cerca. $68^2=4624$ y $69^2=4761$, por lo que la respuesta es obviamente $68$ punto algo.
Incluso podemos refinar eso rápidamente, usando otras técnicas mentales de estimación de raíces cuadradas. $4669-4624=45$, por lo que podemos usar la técnica vinculada para darnos cuenta de que $sqrt4669approx68frac45137$, o alrededor de $68frac13$.
Paso 5: $68frac13-frac12=67frac56$, por lo que este método nos ha dado un ángulo estimado de alrededor de $68^circ$.
A través de la experiencia, he encontrado una manera de mejorar la estimación anterior de Ronald Doerfler.
Antes del paso 1, tome nota del dígito de las décimas de su $x$ original. Con $0.overline3$, el dígito de las décimas es obviamente $3$.
Siempre que este dígito sea menor que 6 (del 6 al 9, no se necesita ningún ajuste), agregará $6$ menos este dígito al número de grados, como último paso.
Dado que el dígito original de las décimas era $3$ en este caso, agregaremos $6-3=3$ grados más. $68+3=71$, por lo que tenemos una estimación ajustada de alrededor de $71^circ$.
Si calculas $cos^-1(frac13)$ con una calculadora, encontrarás que la respuesta es $70,53^circ$, por lo que nuestra estimación mental de $71^ ¡circ$ está bastante cerca!
No existe un método general (aunque puede aproximarse a la función $arccos$, con Taylor, por ejemplo) para encontrar una solución exacta. De hecho, $arccos(frac13)$ ni siquiera es un “ángulo limpio”, ya que no es un múltiplo racional de $pi$, vea también la respuesta en ¿Cómo demuestro que $frac1pi arccos(1/3)$ es irracional?.
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