Solución:
Asumiré que $ T $ es el período y $ omega $ es la frecuencia angular de la onda $ sin ( omega t) $. En tal caso, que es importante para obtener los resultados finales, la siguiente relación tiene $$ omega = frac {2 pi} {T}. Tag {1} $$ Sea $ x = omega t $, $ x_ {0} = omega t_ {0} $. Luego
begin {eqnarray *} I (m, n) & = & int_ {t_ {0}} ^ {t_ {0} + T} sin (m omega t) sin (n omega t) , dt tag {2} \ & = & frac {1} { omega} int_ {x_ {0}} ^ {x_ {0} +2 pi} sin (mx) sin (nx) , dx \ & = & frac {1} {2 omega} int_ {x_ {0}} ^ {x_ {0} +2 pi} cos ( left (mn right) x) – cos ( left (m + n right) x) , dx text {,} tag {3} end {eqnarray *} porque en general begin {ecuación *} cos ( alpha – beta) – cos ( alpha + beta) = 2 sin alpha sin beta, tag {4} end {ecuación *} como se puede ver al restar
begin {ecuación *} cos ( alpha + beta) = cos alpha cos beta – sin alpha sin beta end {ecuación *} de begin {ecuación *} cos ( alfa – beta) = cos alpha cos beta + sin alpha sin beta. end {ecuación *}
- Para $ m neq n $, desde begin {eqnarray *} int_ {x_ {0}} ^ {x_ {0} +2 pi} cos ( left (mn right) x) , dx & = & izquierda. frac { sin ( left (mn right) x)} {mn} right vert _ {x_ {0}} ^ {x_ {0} +2 pi} = 0 \ int_ {x_ { 0}} ^ {x_ {0} +2 pi} cos ( left (m + n right) x) , dx & = & left. frac { sin ( left (m + n right) x)} {m + n} right vert _ {x_ {0}} ^ {x_ {0} +2 pi} = 0 tag { 5} end {eqnarray *} la integral $ I (m, n) = 0 $.
- Para $ m = n ne 0 $, por $ (1) $ begin {eqnarray *} I (m, n) & = & I (m, m) = frac {1} {2 omega} int_ { x_ {0}} ^ {x_ {0} +2 pi} 1- cos (2mx) , dx \ & = & left. frac {1} {2 omega} left (x- frac { sin (2mx)} {2m} right) right vert _ {x_ {0}} ^ {x_ {0} +2 pi} \ & = & frac {1} {2 omega} left (2 pi right) = frac { pi} { omega} = frac {T} {2} tag {6 }. end {eqnarray *}
La evaluación de la segunda integral es similar.