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Solución:
Como nota rápida, las ecuaciones de movimiento que provienen de ese lagrangiano son
$$ frac d dt left ( dot q_1 + dot q_2 right) = -2kq_1 ^ 3 $$$$ frac d dt left ( dot q_2 + dot q_1 right) = -2kq_2 ^ 3 $$
El procedimiento de Dirac para lagrangianos singulares es el siguiente:
Paso 1: Calcule los momentos generalizados como de costumbre.$$ p_1 equiv frac parcial L parcial punto q_1 = punto q_1 + punto q_2 $$$$ p_2 equiv frac parcial L parcial dot q_2 = dot q_1 + dot q_2 = p_1 $$
Claramente, esto no es invertible. Tenemos una ecuación “buena” (que define $ p_1 $ en términos de las velocidades generalizadas) y una ecuación “mala” ($ G equiv p_2-p_1 = 0 $, una relación algebraica entre los momentos en los que no aparecen las velocidades).
$ G = 0 $ se llama un restricción primaria del procedimiento de Dirac: una relación algebraica entre momentos y (posiblemente) coordenadas, en la que las velocidades generalizadas están ausentes.
Paso 2: Calcule el hamiltoniano ingenuo
Si calculamos el hamiltoniano como de costumbre, encontramos
$$ H_0 = p_1 dot q_1 + p_2 dot q_2 – L = p_1 (p_1- dot q_2) + p_2 dot q_2 – frac 1 2 p_1 ^ 2 + frac k 2 (q_1 ^ 4 + q_2 ^ 4) $$$$ = frac p_1 ^ 2 2 + (p_2-p_1) dot q_2 + frac k 2 (q_1 ^ 4 + q_2 ^ 4) $$$$ = frac p_1 ^ 2 2 + frac k 2 (q_1 ^ 4 + q_2 ^ 4) $$
Si calcula las ecuaciones de Hamilton, verá que no coinciden con las ecuaciones de Lagrange:
$$ dot p_1 = – frac parcial H_0 parcial q_1 = -2kq_1 ^ 3 $$$$ dot p_2 = – frac parcial H_0 parcial q_2 = -2kq_2 ^ 3 $$$$ dot q_1 = frac parcial H_0 parcial p_1 = p_1 $$$$ dot q_2 = frac parcial H_0 parcial p_2 = 0 $$
Paso 3: amplíe el espacio de fase y construya el hamiltoniano completo
Ahora ampliamos el espacio de fase introduciendo una nueva variable $ v $, y definirlo a Poisson-conmutar con las variables de espacio de fase regular, es decir
$$ v, q_i = v, p_i = 0 $$
los completo hamiltoniano se obtiene multiplicando $ v $ por nuestra restricción principal $ G $ y agregarlo a $ H_0 $:
$$ H = frac p_1 ^ 2 2 + frac k 2 (q_1 ^ 4 + q_2 ^ 4) + v (p_2-p_1) $$
Las nuevas ecuaciones hamiltonianas son
$$ dot p_1 = – frac parcial H parcial q_1 = -2kq_1 ^ 3 $$$$ dot p_2 = – frac parcial H parcial q_2 = -2kq_2 ^ 3 $$$$ dot q_1 = frac parcial H parcial p_1 = p_1-v $$$$ dot q_2 = frac parcial H parcial p_2 = v $$
Paso 4: Obtenga relaciones algebraicas adicionales
Porque $ G $ es idénticamente cero, debe ser que
$$ dot G = dot p_2 – dot p_1 = 0 $$$$ implica T equiv q_2 ^ 3-q_1 ^ 3 = 0 $$
Llamamos $ T $ a restricción secundaria del procedimiento de Dirac: una restricción obtenida a través de la diferenciación de una restricción primaria, y luego simplificada mediante el uso de las ecuaciones de Hamilton obtenidas del hamiltoniano completo (aunque en este caso, el hamiltoniano ingenuo lo habría hecho igual de bien).
Paso 5: determinar $ v $ y eliminarlo del hamiltoniano completo
Diferenciar la restricción secundaria nos permite determinar $ v $:
$$ dot T = 3 (q_1 ^ 2 dot q_1 – q_2 ^ 2 dot q_2) = 3 (q_1 ^ 2[p_1-v] – q_2 ^ 2[v]) $$$$ = 3 (q_1 ^ 2 p_1 – (q_1 ^ 2 + q_2 ^ 2) v) = 0 $$$$ implica v = frac q_1 ^ 2 p_1 q_1 ^ 2 + q_2 ^ 2 $$
y entonces
$$ H = frac p_1 ^ 2 2 + frac k 2 (q_1 ^ 4 + q_2 ^ 4) + frac q_1 ^ 2 p_1 q_1 ^ 2 + q_2 ^ 2 (p_2-p_1) $$
Y eso es todo, hemos terminado.
Puede confirmar que esto, junto con las restricciones primarias y secundarias, reproduce las ecuaciones de movimiento adecuadas:
$$ dot p_1 = – frac parcial H parcial q_1 = -2kq_1 ^ 3 – frac 2q_1 (1-q_1 ^ 2) (p_1p_2-p_1 ^ 2) q_1 ^ 2 + q_2 ^ 2 $$$$ dot p_2 = -2kq_2 ^ 3 + frac 2q_2q_1 ^ 2 (p_1p_2-p_1 ^ 2) q_1 ^ 2 + q_2 ^ 2 $$$$ dot q_1 = p_1 + frac q_1 ^ 2 q_1 ^ 2 + q_2 ^ 2 (p_2-2p_1) $$$$ dot q_2 = frac q_1 ^ 2 q_1 ^ 2 + q_2 ^ 2 p_1 $$$$ G equiv p_2-p_1 = 0 $$$$ T equiv x_2 ^ 3-x_1 ^ 3 = 0 $$
que simplifica a
$$ dot p_1 = frac d dt ( dot q_1 + dot q_2) = -2kq_1 ^ 3 = -2kq_2 ^ 3 $$
En resumen, los sistemas lagrangianos singulares tienen varias características comunes
- La definición de ecuaciones para los momentos generalizados produce (algunas) ecuaciones algebraicas entre variables de espacio de fase que no incluyen velocidades generalizadas y, por lo tanto, el sistema no es invertible. Estas ecuaciones se llaman restricciones primarias, y sus derivados rinden restricciones secundarias
- El procedimiento para obtener el hamiltoniano completo extiende el espacio de fase y usa las nuevas variables un poco como los multiplicadores de Lagrange para agregar las restricciones primarias al hamiltoniano ingenuo.
- Al menos algunos de los “multiplicadores de Lagrange” se pueden eliminar de las nuevas ecuaciones de Hamilton mediante el uso de restricciones primarias y secundarias, y el sistema de ecuaciones resultante (ecuaciones de Hamilton + restricciones) reproduce la dinámica original.
- Esto no se incluyó en este ejemplo, pero los multiplicadores que permanecen indeterminados al final de este procedimiento ingresan las soluciones como funciones arbitrarias, que tampoco habrían sido determinadas por las ecuaciones de movimiento de Lagrange.
El usuario J. Murray ya ha dado una buena respuesta. Resumamos aquí cómo procedería el análisis de Dirac-Bergmann en las coordenadas (posiblemente conceptualmente más simples)
$$ q ^ pm ~: = ~ q ^ 1 pm q ^ 2, qquad p _ pm ~: = ~ frac p_1 pm p_2 2. $$
El lagrangiano original de OP luego lee
$$ L_0 ~ = ~ frac 1 2 ( dot q ^ +) ^ 2 -V, qquad V ~ = ~ frac k 16 left ((q ^ +) ^ 4 + (q ^ -) ^ 4 + 6 (q ^ +) ^ 2 (q ^ -) ^ 2 derecha). $$
Restricción primaria:
$$ p_- ~ aprox ~ 0. $$
Hamiltoniano original:
$$ H_0 ~ = ~ frac 1 2 p _ + ^ 2 + V. $$
Comprobación de coherencia:
$$ 0 ~ approx ~ – dot p _- ~ approx ~ H_0, p _- ~ = ~ frac parcial V parcial q ^ – ~ = ~ frac k 4 q ^ – left ((q ^ -) ^ 2 + 3 (q ^ +) ^ 2 right). $$
Restricción secundaria:
$$ q ^ – ~ aproximadamente ~ 0. $$
Resultado: Hamiltoniano:
$$ H ~ = ~ frac 1 2 p _ + ^ 2 + frac k 16 (q ^ +) ^ 4 ~ = ~ frac 1 8 (p_1 + p_2) ^ 2 + frac k 16 (q ^ 1 + q ^ 2) ^ 4 $$
con 2 limitaciones de segunda clase: $$ p_- ~ approx ~ 0 ~ approx ~ q ^ -. $$
Referencias:
- M. Henneaux y C. Teitelboim, Cuantización de sistemas de calibre, 1994.
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