Calcule el curl de un campo vectorial en Python y grábelo con matplotlib

Solución:

Puedes usar sympy.curl() para calcular la curvatura de un campo vectorial.

Ejemplo:

Suponer F(x, y, z) = y²zI – xyj + z²k, luego:

• y sería R[1], x es R[0] y z es R[2]
• los vectores unitarios I, j, k de los 3 ejes, serían respectivamente R.x, R.y, R.z.

El código para calcular el rizo del campo vectorial es:

from sympy.physics.vector import ReferenceFrame
from sympy.physics.vector import curl
R = ReferenceFrame('R')

F = R[1]**2 * R[2] * R.x - R[0]*R[1] * R.y + R[2]**2 * R.z

G = curl(F, R)  

En ese caso, G sería igual a R_y**2*R.y + (-2*R_y*R_z - R_y)*R.z o, en otras palabras,
G = 0I + y²j + (-2yz-y)k.

Para trazarlo necesita convertir el resultado anterior en 3 funciones separadas; u, v, w.

(ejemplo a continuación adaptado de este ejemplo de matplotlib):

from mpl_toolkits.mplot3d import axes3d
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

fig = plt.figure()
ax = fig.gca(projection='3d')

x, y, z = np.meshgrid(np.arange(-0.8, 1, 0.2),
                      np.arange(-0.8, 1, 0.2),
                      np.arange(-0.8, 1, 0.8))

u = 0
v = y**2
w = -2*y*z - y

ax.quiver(x, y, z, u, v, w, length=0.1)

plt.show()

Y el resultado final es este:

Para calcular la curvatura de una función vectorial, también puede utilizar numdifftools para la diferenciación numérica automática sin un desvío a través de la diferenciación simbólica. Numdifftools no proporciona un curl() función, pero calcula la matriz jacobiana de una función de valor vectorial de una o más variables, y esto proporciona las derivadas de todos los componentes de un campo vectorial con respecto a todas las variables; esto es todo lo que se necesita para calcular el rizo.

import import scipy as sp
import numdifftools as nd

def h(x):
    return sp.array([3*x[0]**2,4*x[1]*x[2]**3, 2*x[0]])

def curl(f,x):
    jac = nd.Jacobian(f)(x)
    return sp.array([jac[2,1]-jac[1,2],jac[0,2]-jac[2,0],jac[1,0]-jac[0,1]])

x = sp.array([1,2,3)]
curl(h,x)

Esto devuelve el valor del rizo en x: array([-216., -2., 0.])
El trazado es como se sugirió anteriormente.

Aquí hay un código de Python que se basa en una implementación de Octave / Matlab,

import numpy as np

def curl(x,y,z,u,v,w):
    dx = x[0,:,0]
    dy = y[:,0,0]
    dz = z[0,0,:]

    dummy, dFx_dy, dFx_dz = np.gradient (u, dx, dy, dz, axis=[1,0,2])
    dFy_dx, dummy, dFy_dz = np.gradient (v, dx, dy, dz, axis=[1,0,2])
    dFz_dx, dFz_dy, dummy = np.gradient (w, dx, dy, dz, axis=[1,0,2])

    rot_x = dFz_dy - dFy_dz
    rot_y = dFx_dz - dFz_dx
    rot_z = dFy_dx - dFx_dy

    l = np.sqrt(np.power(u,2.0) + np.power(v,2.0) + np.power(w,2.0));

    m1 = np.multiply(rot_x,u)
    m2 = np.multiply(rot_y,v)
    m3 = np.multiply(rot_z,w)

    tmp1 = (m1 + m2 + m3)
    tmp2 = np.multiply(l,2.0)

    av = np.divide(tmp1, tmp2)

    return rot_x, rot_y, rot_z, av

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