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¿Qué es la derivada de un campo vectorial en una variedad?

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Solución:

Ver $X$ como un mapa uniforme $X colon M to TM$ con la propiedad de que $pi X = 1_M$ donde $pi colon TM to M$ es el mapa de proyección. Como $X$ es un mapa suave entre variedades, tiene una derivada $DX_p colon T_p M to T_X(p) TM$ definida como la derivada de cualquier mapa suave. De hecho, esto parece un problema: el espacio vectorial de la izquierda tiene una dimensión $dim(M)$ mientras que el de la derecha tiene una dimensión $2 dim(M)$, por lo que no tiene sentido hablar de valores propios !

Pero $X$ no es un mapa cualquiera: todavía no hemos usado la ecuación $pi X = 1_M$. Diferenciamos ambos lados de esta ecuación usando la regla de la cadena:

$$Dpi_X(p) circ DX_p = 1_T_p M$$

Trivializando todo sobre una vecindad coordinada de $p$, tenemos $T_X(p) TM cong mathbbR^n times mathbbR^n$ y $T_p M cong mathbb R^n$; en esta trivialización $Dpi_X(p)$ es solo el mapa de proyección sobre el primer factor. Por lo tanto, la ecuación anterior dice que $DX_p$ tiene que tener la forma

$$DX_p(v) = (v, Lv)$$

para alguna transformación lineal $L colon mathbbR^n to mathbbR^n$. Es un abuso bastante estándar de la notación pensar en este objeto $L$ como “la derivada” de $X$, aunque la derivada es realmente $(I, L)$ donde $I$ es la identidad.

Es posible adaptar ligeramente la respuesta de Paul Siegel para evitar trivializaciones. Solo usamos la división natural sobre un punto $(p,0)$ de $T_(p,0)TM$.

Nuevamente, un campo vectorial es un mapa $X: M to TM$ tal que $pi circ X=mathrmId$.

Si $X(p)=0$, tenemos que $dX_p:T_pM to T_(p,0)TM simeq T^h_(p,0)TMoplus T^v_(p, 0)TM,$ donde $$T^h_(p,0)TM:=\dotgamma(0) mid gamma text es una curva a través de $(p,0) $ tal que gamma subset M,$$ $$T^v_(p,0)TM:=\dotgamma(0) mid gamma text es una curva a través de $(p,0)$ tal que gamma subset T_pM.$$

Tenga en cuenta que la existencia de tal descomposición natural utiliza en gran medida el hecho de que $X(p)=0$; de lo contrario, necesitaríamos confiar en una métrica (más directamente, una conexión) en $M$ para proporcionarla (para obtener más información , mira aquí).

Existe un isomorfismo natural $i: T^v_(p,0)TM to T_pM $ (Es similar al isomorfismo que existe de $T_pV to V$, donde $V$ es un espacio vectorial). La “derivada” a la que se refiere el texto es entonces $$DX_p=iota circ pi_2 circ dX_p.$$

Dado que $M$ es una variedad, existe una vecindad $U$ de $p$ y un gráfico $UtoBbb R^m$. En particular, determina un isomorfismo $T_pMcongBbb R^m$, y la variedad tangente sobre $U$ es isomorfa a la fibración trivial $Utimes T_pM$. (Podemos aplanarlo localmente).

Entonces, en la zona (es decir, sobre $U$) podemos considerar el campo vectorial $X$ como $Uto T_pM$.
(También podríamos escribir $UtoBbb R^m$ si eso es más claro).
Finalmente, como $T_pM$ es un espacio lineal, su espacio tangente (en cualquier punto) se identifica consigo mismo.

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