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Solución:
Esto puede darle más de la teoría o lógica que desea detrás de esto (doy una explicación de su ejemplo específicamente al final), aunque Marco proporciona un análisis combinatorio agradable e intuitivo.
Como alguien señaló, $ sigma $ es el función suma de divisores, que se define estableciendo $ sigma (n) $ igual a la suma de todos los divisores positivos de $ n $.
Ahora, tenemos que $ tau $ es el función de número de divisores, que se define estableciendo $ tau (n) $ igual a la número de divisores positivos de $ n $.
Primero tenga en cuenta que $ sigma (n) $ y $ tau (n) $ pueden expresarse en notación de suma: $$ sigma (n) = sum_ d mid n d quad text y quad tau (n) = sum_ d mid n 1. $$ Voy a suponer que sabes que $ sigma (n) $ y $ tau (n) $ son funciones multiplicativas (si no, las pruebas de este hecho son fáciles de encontrar); es decir, $$ sigma (mn) = sigma (m) sigma (n) quad text y quad tau (mn) = tau (m) tau (n), tag 1 $$ donde $ m $ y $ n $ son enteros positivos primos relativamente (tales funciones se denominan completamente multiplicativo si $ (1) $ se mantiene para todo enteros positivos $ m $ y $ n $).
Con eso fuera del camino, podemos desarrollar lo que aprendió de manera más rigurosa comenzando con un lema, luego un teorema y luego un ejemplo simple.
Lema: Sea $ p $ primo y $ a $ un entero positivo. Entonces $$ sigma (p ^ a) = 1 + p + p ^ 2 + cdots + p ^ a = frac p ^ a + 1 -1 p-1, tag 2 $$ y $$ tau (p ^ a) = a + 1. tag 3 $$
Prueba. Los divisores de $ p ^ a $ son $ 1, p, p ^ 2, ldots, p ^ a-1, p ^ a $. Por tanto, $ p ^ a $ tiene exactamente $ a + 1 $ divisores, de modo que $ tau (p ^ a) = a + 1 $. Además, notamos que $ sigma (p ^ a) = 1 + p + p ^ 2 + cdots + p ^ a-1 + p ^ a = frac p ^ a + 1 – 1 p-1 $ (la suma de términos en una progresión geométrica).
Teorema: Deje que el entero positivo $ n $ tenga factorización prima $ n = p_1 ^ a_1 p_2 ^ a_2 cdots p_s ^ a_s $. Entonces tenemos que $$ sigma (n) = frac p_1 ^ a_1 + 1 -1 p_1-1 cdot frac p_2 ^ a_2 + 1 -1 p_2-1 cdot cdots cdot frac p_s ^ a_s + 1 -1 p_s-1 = prod_ j = 1 ^ s frac p_j ^ a_j + 1 -1 p_j- 1, etiqueta 4 $$ y $$ tau (n) = (a_1 + 1) (a_2 + 1) cdots (a_s + 1) = prod_ j = 1 ^ s (a_j + 1 ). etiqueta 5 $$
Prueba. Dado que $ sigma $ y $ tau $ son multiplicativos, podemos ver que $$ sigma (n) = sigma (p_1 ^ a_1 p_2 ^ a_2 cdots p_s ^ a_s) = sigma (p_1 ^ a_1) sigma (p_2 ^ a_2) cdots sigma (p_s ^ a_s), $$ y $$ tau (n) = tau (p_1 ^ a_1 p_2 ^ a_2 cdots p_s ^ a_s) = tau (p_1 ^ a_1) tau (p_2 ^ a_2) cdots tau (p_s ^ a_s). $$ Insertando los valores para $ sigma (p_i ^ a_i) $ y $ tau (p_i ^ a_i) $ encontrados en $ (2) $ y $ (3) $, obtenemos las fórmulas deseadas.
Ejemplo: Calcule $ sigma (200) $ y $ tau (200) $.
Solución. Usando $ (4) $ y $ (5) $, tenemos que $$ sigma (200) = sigma (2 ^ 35 ^ 2) = frac 2 ^ 4-1 2-1 cdot frac 5 ^ 3-1 5-1 = 15 cdot 31 = 465, $$ y $$ tau (200) = tau (2 ^ 35 ^ 2) = (3 + 1) (2 +1) = 12. $$
Para su observación específicamente, el cálculo de $ sigma (12) $ y $ tau (12) $ produce lo siguiente:
- $ Displaystyle sigma (12) = sigma (2 ^ 23 ^ 1) = frac 2 ^ 3-1 2-1 cdot frac 3 ^ 2-1 3-1 = 7 cdot 4 = 28 $.
- $ tau (12) = tau (2 ^ 23 ^ 1) = (2 + 1) (1 + 1) = 3 cdot 2 = 6 $.
Sea $$ x = prod_ i = 0 ^ n p_i ^ e_i $$
donde $ p_i $ son primos distintos. Entonces los divisores de x son de la forma
$$ Displaystyle prod_ i = 0 ^ n p_i ^ t_i $$
donde $ 0 leq t_i leq e_i $.
Para obtener cualquier divisor, debe elegir cada $ t_i $ en $ 0, ldots, e_i $, por lo que para $ t_0 $ tiene $ e_0 + 1 $ opciones y así sucesivamente, por lo tanto $ x $ tiene
$$ prod_ i = 0 ^ n (e_i + 1) $$
divisores.
Tomemos su ejemplo de $ 12 $.
$ 12 = 2 ^ 2 cdot 3 ^ 1 $
Mirando esos dos poderes principales a su vez
- $ 2 ^ 2 $ tiene factores de $ 2 ^ 0, 2 ^ 1, 2 ^ 2 $
- $ 3 ^ 1 $ tiene factores de $ 3 ^ 0, 3 ^ 1 $
Para hacer todos los factores de $ 12 $, elegimos un factor de cada uno de los factores de potencia primos y los multiplicamos. Si omitimos uno de los números primos por completo, simplemente elegimos la potencia cero, $ 1 $, para ese factor en particular:
$$ begin array c hline & 2 ^ 0 & 2 ^ 1 & 2 ^ 2 \ hline 3 ^ 0 & 1 & 2 & 4 \ hline 3 ^ 1 & 3 & 6 & 12 \ hline end array $$
Entonces, los exponentes de los factores primos se incorporan al recuento de factores de la manera que describiste.
Esto también proporciona una forma rápida de suma todos los factores de un número. Simplemente sumamos todos los factores de cada primo por separado y multiplicamos los resultados juntos, por lo que los factores de 12 suman $ (1 + 2 + 4) (1 + 3) = 7 times 4 = 28 $.
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