Te sugerimos que pruebes esta respuesta en un entorno controlado antes de pasarlo a producción, un saludo.
Solución:
Series de Laurent y polinomios de Laurent
En realidad, al usar $X$ y $Y$ finitos, lo que ha escrito es solo una definición para Laurent polinomio aritmética, y no Laurent serie aritmética.
La expresión que diste se transfiere directamente, pero la condición en $X$ y $Y$ es que tener un elemento mínimo. Tenga en cuenta que si ambos tienen un elemento mínimo, también lo tienen $Xcup Y$ y $X+Y$.
Ahora para tu pregunta
La expresión $p = sum_i in X a_i t^i$ es una forma de expresar $p$, pero no es la única forma de escribir $p$.
Si $0no está en X$, observe que se puede agregar de forma gratuita:
$$p = sum_i in X a_i t^i=0t^0+sum_i in X a_i t^i=sum_i in X’ a_i t^i$$ donde $X’=Xtaza $. Puede ver que $X’$ todavía tiene un elemento mínimo, que es el elemento mínimo de $X$ o $0$ en sí mismo. Naturalmente $a_0=0$ en este caso. En otros casos, ya tienes $a_0neq 0$.
Entonces, en realidad, puede ver que cada coeficiente en una serie de Laurent está definido, solo que hay limitaciones que hacen que muchos de los coeficientes sean $ 0 $ y, por lo tanto, omisibles. Tales condiciones son necesarias porque aseguran que cada coeficiente de la suma y el producto se pueda obtener a partir de cálculos con finitamente muchos números distintos de cero.
Identidad
Me gustaría adaptar la notación anterior para que sea un poco más fácil escribir cosas. Cuando escribí $p_0$, me refiero al coeficiente de $0$ en $p$. De manera similar, $q_5$ es el coeficiente de $5$ de $q$. Y $(pq)_-1$ es el coeficiente $-1$ del producto $pq$.
Usando esta notación, sus fórmulas aritméticas se transforman en:
$$(p+q)_k = p_k + q_k\ (pcdot q)_k = sum_i+j=k p_i q_j$$
La identidad es el candidato obvio: el coeficiente de $t^0$ debe ser $1$ y todos los demás coeficientes deben ser $0$. Voy a llamar a esa serie en particular “$1$”.
Comprobando la multiplicación:
$$(pcdot 1)_k = sum_i+j=k p_i 1_j=p_k$$ (¿Puedes ver cómo funciona eso?) Esto significa que $pcdot 1=p$, ya que todos sus coincidencia de coeficientes. Así $1$ es la identidad.
Unidades de $F[[t]PS
Las unidades no son definido como lo describiste. Lo que escribiste fue más como una descripción de las unidades de $F[[t]]$ (pero no una definición). Dejemos eso claro aquí.
Para encontrar todas las unidades para el anillo de series de potencias sobre un anillo $F$, primero voy a pedirle que mire las unidades en el anillo de series de potencias $F[[t]]$, que como sabe se parece a $F((t))$ excepto que los coeficientes por debajo de $0$ siempre son $0$.
Primero, veamos las unidades en $F[[x]PS Por definición, $p$ es una unidad si existe un $q$ tal que $pcdot q=1$. Supongamos que $pq=1$. Luego, la fórmula para la multiplicación dice que $p_0q_0=1in F$, por lo que sabemos con seguridad que $p_0$ tiene que ser una unidad.
Por el contrario, considere cómo debe verse $q$ para invertir $p$ si $p_0$ es una unidad en $F$.
Tenemos: $(pcdot q)_0=p_0q_0=1$ y resolviendo $q_0$ obtenemos $q_0=p_0^-1$. Esto es posible de escribir ya que $p_0$ es una unidad de $F$.
Luego $(pcdot q)_1=p_1q_0+p_0q_1=0$, y resolviendo $q_1$ obtenemos $q_1=-p_1q_0p_0^-1$
Luego $(pcdot q)_2=p_2q_0+p_1q_1+p_0q_2=0$, y resolviendo $q_2$ obtenemos $q_2=-p_0^-1(p_2q_0+p_1q_1)$.
Continuando inductivamente, producimos una serie infinita de $q_i$ con la propiedad de que su serie de Laurent $q$ satisface $pcdot q=1$. Ahora hemos establecido que las unidades de $F[[t]]$ son exactamente las series con una unidad de $F$ en el primer coeficiente.
Unidades de $F((t))$
Finalmente, abordamos la pregunta de su unidad. Primero, observe que $t$ es una unidad en este anillo ya que contiene la serie $t^-1$ que es $1$ en el punto $-1$ y $0$ en el resto. Multiplicando encontrarás que $tcdot t^-1=1$.
Ahora sea $p$ cualquier serie de Laurent distinta de cero. Obviamente $p=t^zp’$ donde $p’$ es una serie de potencias con un primer coeficiente distinto de cero. Dado que $t^z$ es obviamente una unidad, $p$ es una unidad de $F((t))$ iff $p’$ es una unidad de $F[[t]]$, pero ya sabemos que eso significa que el coeficiente distinto de cero más bajo de $p’$ es una unidad de $F$.
Ahí lo tienes: las unidades de $F((t))$ son las que tienen el coeficiente más bajo distinto de cero, una unidad de $F$. Si $F$ es un campo, entonces en realidad $F((t))$ también es un campo. Resulta ser el anillo de fracciones de $F[[t]]$, en ese caso.
Llegué tarde al juego, pero después de reflexionar sobre mi comentario sobre la respuesta de rschwieb, llegué a la conclusión de que su respuesta es, en general, incorrecta cuando $F$ no es un dominio integral. He aquí un contraejemplo explícito:
Sea $F:=mathbbC[X]/(X^2)$ y sea $varepsilon$ la imagen de $X$ en $F$, es decir, $F=mathbbC[varepsilon]$ con $varepsilon^2=0$. Considere $$ f(t):=fracvarepsilont^2-fracitin F[t,1/t]subseteq F((t)) $$ y $$ g(t):=varepsilon+itin F[t]subconjunto F[[t]]$$ Entonces $f(t)g(t)=1$ mostrando que el coeficiente distinto de cero más bajo (de $f$) no necesita ser una unidad en $F$.
Lo bueno de este ejemplo es que es mínimo en el sentido de que utiliza un elemento nilpotente no trivial del orden más bajo posible, que a su vez, resulta, impide construir un $f$ con el grado más bajo $(-1)$, por lo que el el término $t^-2$ es realmente necesario, y requiere un par de números que sean inversos entre sí con respecto a la suma y la multiplicación, lo que obliga a introducir un $sqrt-1$.
Acuérdate de que tienes la capacidad de parafrasear tu experiencia si te fue de ayuda.