Solución:
(Otras respuestas interesantes a una pregunta similar se encuentran en Aprendiendo yo mismo la topología diferencial y la geometría diferencial. Puede encontrar otros libros interesantes que se recomiendan allí).
Tal como lo menciona, le recomiendo encarecidamente la nueva edición de Tu – “Introducción a los colectores” ya que es accesible pero también muy bien organizado y motivado y básicamente parte del cálculo multivariable y termina con la cohomología de variedades (es muy útil, por ejemplo, para obtener los antecedentes necesarios para seguir su otro texto más avanzado y enfocado topológicamente Bott / Tu – “Formas diferenciales en topología algebraica”). Además, incluye sugerencias y soluciones a muchos problemas.
Un poco más avanzado y que se ocupa extensamente de la geometría diferencial de las variedades es el libro de Jeffrey Lee – “Colectores y geometría diferencial” (no lo confunda con los otros libros de John M. Lee que también son bonitos pero demasiados y demasiado largos para cubrir el mismo material para mi gusto). Puedes utilizarlo como complemento de Tu’s o como segunda lectura. Es mucho más completo, ya que se ocupa de todas las cosas de Tu, pero incluye muchos más paquetes y conexiones vectoriales, geometría riemanniana, etc.
En el mismo espíritu del libro anterior, pero un poco mejor en mi opinión, e incluso más completo, es el título de Nicolaescu – “Conferencias sobre la geometría de los colectores”. Su tabla de contenido tiene un alcance asombroso al tratar algunos temas avanzados que la mayoría de los otros libros introductorios evitan, como la geometría integral clásica, las clases de características y los operadores pseudodiferenciales. Supuestamente construye todo a partir de una experiencia en álgebra lineal y cálculo multivariable avanzado. Puede parecer un poco avanzado al principio, pero es el mejor libro para leer con / después de Tu. Sus ejercicios son bastante solucionables y aprendí mucho de ellos.
Al final, mi consejo es obtener Tu’s y si después de un tiempo te sientes cómodo con él y quieres aprender más sobre la geometría de los colectores, obtén Nicolaescu’s (o Lee’s).
Además de esto, te recomiendo encarecidamente que obtengas el increíble libro de Gadea / Muñoz – “Análisis y álgebra sobre variedades diferenciables: un libro de trabajo para estudiantes y profesores”. Creo que este título se pasa por alto bastante fuera de España, pero es un tratado muy profundo y detallado de problemas resueltos sobre casi todos los temas introductorios de la geometría diferencial de las variedades.
Si busca una alternativa a Tu, creo que la mejor es John M. Lee – “Introducción a los colectores lisos”; es un libro bien escrito con un ritmo lento que cubre todas las construcciones elementales de las variedades y su índice es muy similar al de Tu. Otra alternativa tal vez Boothby – “Introducción a los colectores diferenciables y la geometría de Riemann“ya que también construye todo a partir del análisis multivariable. Si prefiere una transición de curvas diferenciales y superficies que se centran en la geometría riemanniana, tiene Kühnel – “Geometría diferencial: curvas, superficies, colectores“.
Sin embargo, yo diría que una de las mejores introducciones a las variedades es el viejo libro soviético publicado por MIR, Mishchenko / Fomenko – “Un curso de topología y geometría diferencial”. Desarrolla todo, desde $ mathbb {R} ^ n $, curvas y superficies para llegar a variedades suaves y MUCHOS ejemplos (grupos de Lie, clasificación de superficies, etc.). También está lleno de MUCHAS figuras y dibujos clásicos de cada construcción que dan una motivación muy visual y geométrica. Incluso desarrolla la geometría riemanniana, la cohomología de Rham y el cálculo variacional en variedades con mucha facilidad y sus explicaciones son muy concretas. Si puede obtener una copia de este título por un precio económico (el enlace de arriba lo envía al mercado de Amazon y hay copias baratas “como nuevas”), creo que vale la pena. Sin embargo, dado que su tratamiento está un poco anticuado, carece del tipo de formulación algebraica abstracta dura que se usa hoy en día (olvídate de los functores o secuencias exactas, como lo mencionan Tu o Lee), por eso creo que un tratamiento geométrico anticuado puede ser de gran ayuda. para complementar los títulos modernos para una persona que ingresa al tema y necesita una buena base geométrica. Al final, no debemos olvidar que los viejos maestros que fundaron el tema eran mucho más visuales e intuitivos que los enfoques abstractos modernos de la geometría, y esa motivación fue lo que culminó en el enfoque abstracto unificado de hoy en día.
Dado que este último libro está agotado y la editorial ya no existe, es posible que esté muy interesado en una copia en línea de “baja calidad” que puede descargar aquí (los 3 archivos vinculados en rapidshare).
Introducción a Smooth Manifolds de John M. Lee es un gran texto sobre el tema. Cubre material similar al texto de Loring W. Tu. El libro de Lee es grande (~ 650 páginas) pero la exposición es clara y el libro está lleno de ejemplos comprensibles. Podrá encontrar notas del curso que siguen a este libro, y siempre es bueno ver las mismas cosas en diferentes perspectivas.
Afortunadamente, hay muchos buenos libros sobre variedades. La ‘Introducción a los colectores suaves’ de Lee parece haberse convertido en el estándar, y estoy de acuerdo en que es muy claro, aunque un poco largo y hablador. Fundamentos de colectores diferenciables de Warner es un clásico “más antiguo”.
Javier ya mencionó ‘Manifolds and Differential Geometry’ de Jeffrey Lee y el hermoso libro de Nicolaescu. Me gustaría agregar:
Conlon – Colectores diferenciables
Isham: geometría diferencial moderna para físicos
Morita – Geometría de formas diferenciales
Michor – Temas de geometría diferencial
Al contrario de lo que podría sospechar del título, el texto de Isham es muy matemático; básicamente no hay física en absoluto. Es solo una introducción muy clara a los colectores (con una introducción de 50 páginas a la topología) que cubren campos vectoriales, formas diferenciales, grupos de Lie, haces de fibras y conexiones.
Morita tiene una forma de explicar algún tema bastante avanzado de una manera muy comprensible. Además, no tiene miedo de ver un concepto de diferentes ángulos, primero de una manera elemental y luego en términos más avanzados (por ejemplo, la noción de una ‘conexión’ en un paquete vectorial, luego en un paquete general de fibras y luego mirando hacia atrás en la noción de paquete vectorial con el desde una perspectiva más general).
El texto de Michor podría considerarse como un “segundo” libro de texto, al menos si nos fijamos en los temas que cubre. Tiene un capítulo extenso sobre los grupos de Lie. Cubre formas diferenciales y De Rham Cohomology (que es donde terminan la mayoría de los otros libros mencionados en este hilo), y luego habla de cohomología con soporte compacto, Dualidad de Poincaré y cohomología de grupos de Lie compactos conectados. A continuación se tratan los paquetes y conexiones, los colectores de Riemann, las acciones de grupo isométrico, la geometría simpléctica y de Poisson. Así que sí, es bastante pesado y probablemente no sea una introducción, aunque lo encontré útil en ocasiones cuando aprendí estas cosas por primera vez (hace un año).