No olvides que en las ciencias informáticas cualquier problema casi siempre tiene diferentes soluciones, por lo tanto nosotros aquí compartiremos lo más óptimo y eficiente.
Dejar
$$F(x) := int_0^xf(t),dt.$$
Entonces nosotros tenemos
$$g(x) = fracddx left(frac12 F(x)^2right).$$
Dado que se supone que $g$ decrece monótonamente (no estrictamente), tenemos $g(x) geqslant 0$ para $x < 0$ and $g(x) leqslant 0$ for $x > 0$. Por lo tanto, tenemos
$$frac12 F(x)^2 leqslant frac12 F(0)^2$$
por $x < 0$ as well as for $x > 0$. Pero como $F(0)= 0$, se sigue que $Fequiv 0$. A partir de ahí, $f equiv 0$ se sigue fácilmente.
Voy a probar por contradicción que
si $;x_0;$ es un número real y si $;f;$ es una función continua en $;izquierda]-infty,+inftyright[;$ such that $;int_limitsx_0^x f(t)dt=0;;;forall xinmathbbR;,;;$ then
$f(x)=0;;;forall xinmathbbR$.
Proof:
If there were $;x^*inmathbbR;$ such that $;fleft(x^*right)ne0;$, without loss of generality, we could suppose that $;fleft(x^*right)>0;$.
By continuity of the function $;f;$, it would exist $;delta>0;$ for which $;f(x)>0;;;;forall xinleft[x^*-delta,x^*+deltaright]PS.
Por eso $;;int_limitsx^*-delta^x^*+delta f(t)dt>0;.colorazul{quad{
PS
Por otro lado obtenemos que
$int_limitsx^*-delta^x^*+delta f(t)dt=int_limitsx_0^x^*+delta f(t)dt- int_limitsx_0^x^*-delta f(t)dt=0;,colorazulquad(**)$
de hecho, por hipótesis, resulta que$;int_limitsx_0^xf(t)dt=0;;;forall xinmathbbR$
. Pero $;(**);$ contradicePS
PS . Entonces no es posible que exista alguna $;x^*inmathbbR;$para cual
$;fizquierda(x^*derecha)ne0;$
de lo contrario daría lugar a una contradicción.Por eso,
$f(x)=0;;;para todas las xinmathbbR$.
Acuérdate de que te damos el privilegio añadir una puntuación si te ayudó.