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Solución:
Las respuestas son no y no. Ser adimensional o tener la misma dimensión es una condición necesaria para que las cantidades sean “compatibles”, no es suficiente. Lo que uno está tratando de evitar se llama error de categoría. Existe una situación análoga en la programación de computadoras: se desea evitar poner valores de algún tipo de datos en lugares reservados para un tipo de datos diferente. Pero aunque ciertamente se requiere tener la misma dimensión para que los valores pertenezcan al mismo “tipo de datos”, no hay ninguna razón por la que no puedan ser demarcados por muchas otras categorías además de eso.
El Newton metro es una unidad tanto de par como de energía, y julios por kelvin tanto de entropía como de capacidad calorífica, pero sumarlos suele ser problemático. Lo mismo ocurre con la adición de proverbiales manzanas y naranjas medidas en “unidades adimensionales” de números de conteo. En realidad, el último ejemplo muestra que la demarcación de categorías depende de un contexto, si a uno solo le importan las manzanas y las naranjas como objetos, podría estar bien agregarlas. La dimensión es tan prominente en la física porque rara vez tiene sentido mezclar cantidades de diferentes dimensiones, y hay un buen cálculo (análisis dimensional) para realizar un seguimiento de ella. Pero también tiene sentido introducir categorías adicionales para demarcar valores de cantidades como el par y la energía, incluso si puede que no haya un cálculo tan bueno para ellos.
Como muestran sus propios ejemplos, también tiene sentido tratar los radianes de manera diferente según el contexto: tome su categoría (“dimensión”) a saber. estereorradianes o contar números en cuenta al decidir sobre la suma, pero ignórelo cuando se trata de sustitución en funciones trascendentales. El hercio se usa típicamente para medir la frecuencia de onda, pero debido a que los ciclos y los radianes son oficialmente adimensionales, comparte la dimensión con la unidad de velocidad angular, radianes por segundo, los radianes también marcan la única diferencia entre los amperios para la corriente eléctrica y los amperios-vueltas para la fuerza magnetomotriz. De manera similar, los estereorradianes adimensionales son la única diferencia entre lumen y candela, mientras que a menudo se distinguen la intensidad luminosa y el flujo. Entonces, en esos contextos, también podría tener sentido tratar los radianes y estereorradián como “dimensionales”.
De hecho, los radianes y estereorradián estaban en una clase propia como “unidades suplementarias” del SI hasta 1995. Ese año, la Oficina Internacional de Pesas y Medidas (BIPM) decidió que “El estado ambiguo de las unidades suplementarias compromete la coherencia interna del SI.“, y los reclasificó como”Unidades derivadas adimensionales, cuyos nombres y símbolos pueden, pero no es necesario, usarse en expresiones para otras unidades derivadas del SI, según sea conveniente.“, eliminando así la clase de unidades suplementarias. El deseo de mantener una regla general de que los argumentos de las funciones trascendentales deben ser adimensionales podría haber jugado un papel, pero esto muestra que el estatus dimensional se decide en un grado por convención más que por hechos. En el mismo sentido, el amperio se introdujo como una nueva unidad base en el sistema MKS solo en 1901, y se incorporó al SI incluso más tarde. Como su nombre indica, MKS originalmente se las arreglaba con solo metros, kilogramos y segundos como unidades base, esto requería fraccional potencias de metros y kilogramos en las unidades derivadas de corriente eléctrica sin embargo.
Como señaló @dmckee, la energía y el par se pueden distinguir como escalares y pseudoescalares, lo que significa que bajo la orientación que invierten transformaciones como reflejos, los primeros mantienen su valor mientras que los segundos cambian de signo. Esto trae a colación otra categorización de cantidades que juega un papel importante en la física, mediante reglas de transformación bajo cambios de coordenadas. Entre los vectores hay “true”vectores (como la velocidad), covectores (como el momento) y pseudovectores (como el momento angular), de hecho, todas las cantidades de tensores están categorizadas por representaciones del grupo ortogonal (en relatividad de Lorentz). Esto también viene con un buen cálculo que describe cómo Los tipos de tensor se combinan en varias operaciones (producto escalar, producto tensorial, producto de cuña, contracciones, etc.). Una razón para reescribir la electrodinámica de Maxwell en términos de formas diferenciales es realizar un seguimiento de ellos. Esto se vuelve importante cuando se dice que la métrica de fondo no es Euclidiana, porque de ella depende la identificación de vectores y covectores, de todos modos los diferentes tipos de tensores tienden a tener diferentes dimensiones, pero hay excepciones y las categorizaciones son claramente independientes.
Pero incluso el tipo de tensor puede no ser suficiente. Antes de las mediciones de Joule del equivalente mecánico del calor en la década de 1840, la cantidad de calor (medida en calorías) y la energía mecánica (medida en unidades derivadas) tenían dos dimensiones diferentes. Pero incluso hoy uno puede desear mantenerlos en categorías separadas al estudiar un sistema donde la energía mecánica y térmica se conservan aproximadamente por separado, lo mismo se aplica a la energía de masa de Einstein. Esto significa que los límites categóricos no están escritos en piedra, pueden erigirse o eliminarse tanto por conveniencia práctica como debido a un descubrimiento físico.
Muchas peculiaridades históricas en la elección y desarrollo de unidades y sistemas de unidades se describen en el libro de Klein The Science of Measurement.
Siempre que pienso en este problema, vuelvo a uno de los artículos de Joel Spolsky, “Hacer que el código incorrecto parezca incorrecto”, que habla de la notación húngara. No solo el tipo inútil de notación húngara, donde las variables se nombran de una manera que describe sus tipos (f_pos para un flotador, d_pos para un doble, etc.) – este es “Sistemas húngaro” en el artículo – pero el tipo original y práctico, “Aplicaciones húngaro”, donde el nombre de una variable refleja qué tipo de cantidad física representa. x_pos y y_pos para posición horizontal y vertical, por ejemplo. O en un ejemplo que podría ser más relevante para su caso, circ_length y rad_length para circunferencia y radio, respectivamente.
En Apps húngaro, si alguna vez se encontró escribiendo circ_length + rad_length, sospecharía que algo andaba mal porque no debería agregar circunferencia y radio. Aunque son dimensionalmente consistentes, no son compatible en algún sentido. Querría reescribirlo como algo como esto:
circ_length + circ_from_rad(rad_length)
Los sistemas de unidades son un equivalente físico (algo limitado) de Apps húngaro. Usamos diferentes unidades para denotar diferentes variables que no son compatibles y no deben sumarse.
Esto puede parecer una perspectiva extraña sobre las unidades al principio. Después de todo, es parece intuitivamente obvio que la longitud y el tiempo son diferente de alguna manera que, digamos, la altura y el ancho no lo son. Pero luego llegó la relatividad, y aprendimos que la longitud y el tiempo en realidad están compatible, solo necesita hacer la conversión correcta.
prime_t, prime_x = prime_from_normal(normal_t, normal_x)
o en otras palabras,
$$ begin pmatrix ct ‘\ x’ end pmatrix = begin pmatrix gamma & – beta gamma \ – beta gamma & gamma end pmatrix begin pmatrix ct \ x end pmatrix $$
Luego llegó la mecánica cuántica y aprendimos que la energía y la frecuencia también son lo mismo.
energy = energy_from_freq(frequency)
$$ E = hbar omega $$
Y luego llegó la gravedad cuántica y alguien inventó las unidades de Planck, y eso va todos el camino por la madriguera del conejo hasta el punto donde todo es solo un número, y puede agregar libremente masas, cargas y fuerzas.
Manténgase alejado de la gravedad cuántica.
De todos modos, si es tan fácil reducir el número de unidades distintas mostrando cómo se pueden convertir todas entre sí, también puede revertir el proceso. Tratarías los sistemas de unidades que tengo como versiones reducidas de sistemas más complicados que distinguen entre cantidades que normalmente pensamos que son iguales. Alto y ancho, por ejemplo. Podría tener “metro de altura” y “metro de ancho” como unidades efectivamente separadas. O, en su caso, “circunferencia-metro” y “radio-metro”, en cuyo caso definiría $$ 1 mathrm rad = frac 1 text circunferencia-metro 1 text radius-meter $$ En su sistema, esto es no va a ser lo mismo que $ frac 1 text medidor de altura 1 text medidor de ancho $. Usted puede hacer es lo mismo al convertir todas estas unidades en metros, en cuyo caso recuperaría el sistema métrico, pero luego perderá la información contextual adicional proporcionada por su sistema de unidades.
Aquí hay un ejemplo práctico: la pendiente $ m $ se define como la altura sobre la longitud (horizontal), $ Delta y / Delta x $, lo que significa que las unidades de pendiente son $$[m] = frac text height-meter text length-meter $$ Por otro lado, el ángulo $ alpha $ se define como la circunferencia sobre el radio, $$[alpha] = frac text circumference-meter text radius-meter $$ La relación entre estos dos es $$ m = tan alpha $$ así que en este sistema de unidades aumentadas, sabes que el la tangente toma unidades de $ frac text circunferencia-metro text radio-metro $ y da un resultado en unidades de $ frac text altura-metro text medidor de longitud $.
Sin embargo, existe un problema. ¿Qué pasa si estás haciendo un cálculo que involucra las velocidades transversal y recesional de una estrella? (Perpendicular y paralelo a su línea de visión, respectivamente). En ese caso, todavía usa la función tangente, pero puede obtener un resultado en unidades de $ frac text longitud-metro text altura -meter $. Estrictamente hablando, esto probablemente significa que debería tener una función separada que produciría este tipo de salida. En la práctica, puede llevarlo demasiado lejos. Darle a todo unidades separadas a menudo es más problemático de lo que vale la pena.
Entonces tendrás que encontrar un equilibrio entre los dos extremos. Mucha gente está de acuerdo en que tener ángulos designados por una unidad para preservar la información contextual que están anglos (no otra cosa) es útil. Puede usar esa información de manera significativa con funciones trigonométricas: una función como $ tan $ tiene que tomar como entrada un ángulo o una relación “circular” de longitudes (circunferencia a radio o algo así), y dar como salida una relación “rectangular” de longitudes (altura a ancho o viceversa o algo así). El radián puede ser una unidad “falsa”, claro, pero en cierto modo no es más falso que una unidad de velocidad o momento angular, y es útil información a mantener.
Aquí hay una respuesta matemática entretenida. (O al menos, lo encuentro entretenido, de todos modos).
Tomemos en serio la idea de que podemos tratar los radianes como una unidad y procedamos a partir de ahí. Esto significa que cuando escribimos una expresión como $ sin theta $, el argumento $ theta $ debe tener unidades de radianes, mientras que el resultado (asumiré) es solo un número sin unidades. O para decirlo de otra manera, la expresión $ sin ^ – 1 x $ tiene unidades de radianes.
Ahora, ya que podemos escribir $ sin theta $ como $ frac i 2 (e ^ – i theta -e ^ i theta) $, eso significa el argumento para $ e ^ theta $ también debe tener unidades de radianes. O, para decirlo de otra manera, cualquier expresión de la forma $ ln x $ tiene unidades de radianes, ya que el logaritmo es el inverso del exponencial.
Sin embargo, podemos meternos rápidamente en problemas aquí, ya que la integral del logaritmo viene dada por
$$ int ln x , dx = x ln x – x + C. $$
Asumiendo $ x $ es un número adimensional, el término $ x ln x $ tiene unidades de radianes, pero el $ x $ el término es adimensional. Así que hemos llegado a una inconsistencia del tipo que estaba buscando, donde una cantidad en radianes se agrega a una cantidad adimensional, y nunca tuvimos que incluir ninguna física en absoluto.
Este no es necesariamente un problema irresoluble. benrg tiene una buena respuesta, en la que señala que puedes escribir la solución de la integral anterior como $ x ln (x / e) + C = x ln x – x ln e + C $, con el punto de que $ ln e $ es una constante con el valor 1 pero unidades de radianes, por lo que las unidades de la expresión son radianes en general. Esto parece ser consistente y me gusta bastante.
Todo esto podría valer la pena pensar un poco más en algún momento, en una tarde lluviosa cuando no hay nada más que hacer. Mi punto aquí fue mostrar que no es sencillo tratar los radianes como una unidad, incluso en el mundo de las matemáticas puras. benrg muestra que, no obstante, podría ser posible hacerlo de forma coherente, lo que me parece interesante.
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