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Solución:
$ newcommand t [texttime] newcommand e [textenergy] newcommand a [textangle] newcommand l [textlength] newcommand d[1]; mathrm d # 1 $Dimensiones vs Unidades:
Quiero hacer una conjetura educativa sobre por qué los ángulos se consideran adimensionales mientras se hace un análisis dimensional. Antes de hacer eso, debes tener en cuenta que los ángulos tienen unidades. Son simplemente adimensionales. La definición de la unidad de medida es la siguiente:
Una unidad de medida es una magnitud definida de una cantidad física, definida y adoptada por convención o por ley, que se utiliza como estándar para medir la misma cantidad física.
De hecho, hay muchas unidades para medir ángulos como radianes, ángulos, minuto de arco, segundo de arco, etc. Puedes echar un vistazo a esta página de wikipedia para obtener más información sobre las unidades de ángulos.
La dimensión de un objeto es una cantidad abstracta y es independiente de cómo se mida esta cantidad. Por ejemplo, las unidades de fuerza son Newton, que es simplemente $ kg cdot m / s ^ 2 $. Sin embargo, el dimensiones de fuerza es
$$[F] = [textmass] frac [textlength] t ^ 2 $$
a veces denotado como
$$[F] = [M] frac [X] [T]^ 2 $$
pero me ceñiré a la primera convención. La diferencia entre unidades y dimensiones es básicamente que las dimensiones de una cantidad son únicas y definen cuál es esa cantidad. Sin embargo, las unidades de la misma cantidad pueden ser diferentes, por ejemplo. las unidades de fuerza pueden ser perfectamente $ onza cdot pulgada / ms ^ 2 $.
Ángulos como cantidades adimensionales
En cuanto a por qué nos gusta considerar los ángulos como cantidades adimensionales, daría ejemplos y consideraría las consecuencias de que los ángulos tengan dimensiones:
Como sabes, la frecuencia angular viene dada por
$$ omega = frac 2 pi T ;, $$
donde $ T $ es el período de la oscilación. Hagamos un análisis dimensional, como si los ángulos tuvieran dimensiones. Denotaré la dimensión de una cantidad con corchetes $[cdot]$ como hice arriba.
$$[omega] overset text por definición = frac [textangle] [text time] $$
Sin embargo, usando la fórmula anterior tenemos
$$[omega] = frac [2pi] [T] = frac 1 [texttime] ; , etiqueta 1 $$
dado que una constante se considera adimensional, descarté el factor $ 2 pi $.
Este es un inconveniente en cierto modo en la noción de análisis dimensional. Por un lado tenemos $[textangle]/ t $, por otro lado, solo tenemos $ 1 / t $. Puede decir que $ 2 pi $ representa las dimensiones del ángulo, por lo que lo que hice en la ecuación (1), es decir, descartar la constante $ 2 pi $ como un número adimensional es simplemente incorrecto. Sin embargo, la historia no termina aquí. Hay algunos factores de $ 2 pi $ que aparecen demasiado en las ecuaciones, por lo que definimos una nueva constante, por ejemplo, la constante de Plank reducida, definida por
$$ hbar equiv frac h 2 pi ; , $$
donde $ h $ es la constante de Plank. La constante de Plank tiene dimensiones $ text energy cdot t $. Ahora, si dices que $ 2 pi $ tiene dimensiones de ángulos, esto también indicaría que la constante de Plank reducida tiene unidades de $ e cdot t / a $, lo cual es casi una tontería ya que es solo una cuestión Es conveniente que escribamos $ hbar $ en lugar de $ h / 2 pi $, no porque tenga algo que ver con los ángulos como fue el caso con angular frecuencia.
Para resumir:
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Las dimensiones y las unidades no son las mismas. Las dimensiones son únicas y le dicen cuál es esa cantidad, mientras que las unidades le dicen cómo ha medido esa cantidad en particular.
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Si el ángulo tuviera dimensiones, entonces tendríamos que asignar un número, que no tiene ni unidad ni dimensión, una dimensión, que no es lo que nos gustaría hacer porque puede dar lugar a malentendidos como fue en el caso de $ hbar $.
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Si no compró el enfoque anterior o lo encontró un poco circular, aquí hay un enfoque mejor: los ángulos son cantidades desagradables y no funcionan tan bien como queremos. Siempre conectamos un ángulo a una función trigonométrica como seno o coseno. Veamos qué pasa si los ángulos tuvieran dimensiones. Tome la función seno como ejemplo y haga una aproximación mediante la serie de Taylor:
$$ sin (x) approx x + frac x ^ 3 6 $$
Ahora hemos dicho que $ x $ tiene dimensiones de ángulos, por lo que nos deja con
$$[sin(x)] approx a + frac a ^ 3 6 $$
Tenga en cuenta que tenemos que agregar $ a $ con $ a ^ 3 $, lo cual no tiene ningún sentido físico. Sería como agregar $ t $ con $ e $. Dado que no hay forma de evitar este problema, nos gusta declarar $ sin (x) $ como adimensional, lo que nos obliga a hacer un ángulo adimensional.
Otro ejemplo de un problema similar proviene de las coordenadas polares. Como sabrá, el elemento de línea en coordenadas polares viene dado por:
$$ ds ^ 2 = dr ^ 2 + r ^ 2 d theta ^ 2 $$
Un matemático no tiene ningún problema con esta ecuación porque no le importan las dimensiones, sin embargo, un físico que se preocupa profundamente por las dimensiones no puede dormir por la noche si quiere que los ángulos tengan dimensiones porque, como se puede verificar fácilmente, el análisis dimensional se rompe.
$$[d s^2]= l ^ 2 = [d r^2] + [r^2] [dtheta^2] = l ^ 2 + l ^ 2 cdot a ^ 2 $$
Tienes que sumar $ l ^ 2 $ con $ l ^ 2 cdot a ^ 2 $ y establecerlo igual a $ l ^ 2 $, lo que no se hace en física. Es como agregar tomates y papas. Para más información sobre por qué no debe agregar unidades demasiado diferentes, lea esta pregunta y las respuestas.
Resultado: Elegimos decir que los ángulos no tienen dimensiones porque de lo contrario nos causan demasiado dolor de cabeza, mientras hacemos un análisis dimensional.
La pregunta de su amigo es perspicaz pero no está reñida con su respuesta anterior.
Cuando comparas la longitud de algo con una unidad (1 metro), la relación es de hecho un número sin unidades.
Pero entonces todos los números (1.5, $ pi $, 42) no tienen unidades. Cuando desee determinar la velocidad, divida el desplazamiento por el tiempo, cada uno de los cuales tiene unidades. Pero lo que ingresa en su calculadora son solo los números: maneja las unidades por separado.
“El corredor recorrió 100 metros en 10 segundos. ¿Cuál fue su velocidad promedio?” Se resuelve calculando la razón numérica 100/10 y sumando la razón dimensional m / s para conservar las unidades. La mayoría de las calculadoras no tienen (o necesitan) un medio para ingresar unidades (algunos programas de computadora sofisticados sí lo tienen, para ayudarlo a evitar errores al mezclar unidades).
Para algunos cálculos físicos, debe tomar el logaritmo; cuando lo haga, SIEMPRE debe dividir la cantidad por algún factor de escala con las mismas unidades, ya que no es posible tomar el $ log $ de una unidad.
Es posible expresar cualquier cosa como un número adimensional. Vitruvio, un antiguo autor que escribió un libro que se conserva sobre la arquitectura romana, revela que los antiguos romanos hicieron sus cálculos hidrostáticos y arquitectónicos basados en fracciones racionales, que son proporciones de una cantidad con otra.
Por convención, y porque trabajar con todas las cantidades como relaciones resultaría engorroso y difícil, las cantidades físicas como la longitud, el tiempo, la velocidad, el momento, la corriente eléctrica, la presión, etc. se expresan en unidades acordadas.
Otra razón para expresar cantidades físicas como unidades acordadas es que el análisis dimensional podría no ser posible si todas las cantidades físicas se expresaran como proporciones. Entonces, trabajar con unidades en lugar de proporciones proporciona otra herramienta para verificar y validar ecuaciones físicas, que deben tener las mismas dimensiones en los lados izquierdo y derecho.
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