Estate atento ya que en este tutorial hallarás la solución que buscas.
Solución:
La integral indefinida de una función continua siempre existe. Puede que no exista en “forma cerrada”, es decir, puede que no sea posible escribirlo como una expresión finita utilizando funciones “conocidas”. El concepto de “forma cerrada” es algo vago, ya que no hay una lista definitiva de las funciones que son “bien conocidas”. Una afirmación más precisa es que existen funciones elementales cuyas integrales indefinidas no son elementales. Por ejemplo, la integral indefinida $int e^x^2; dx$ no es una función elemental, aunque se puede expresar en términos de una función especial no elemental como $fracsqrtpi2 texterfi(x)$.
tu ejemplo $int e^cos(x); dx$ es también no elemental. Esto se puede probar usando el algoritmo de Risch. Éste tampoco parece tener ninguna forma cerrada no elemental.
Esa integral particular es bastante fácil de calcular numéricamente con la precisión que desee.
También podría encontrar una solución en serie. $e^cos x$ es una serie de potencias en $cos x$y las integrales de potencias de $cos x$ Son bien conocidos. Probar la convergencia es simple, ya que $cos x$ es periódico, solo necesitas considerar el intervalo ps[0, 2pi]ps.
Estás haciendo varias preguntas diferentes aquí ya que existencia, computabilidad y teniendo un forma cerrada son todos aspectos separados de funciones e integrales. Para mostrarte cómo, embarquémonos en un viaje para hacer la función más desagradable que podamos. Es interesante e importante reconocer la distinción entre diferentes términos y los casos patológicos son una buena manera de diferenciarlos.
Todas las funciones que habrá encontrado hasta la escuela secundaria han forma cerrada integrales. Esto significa que podemos escribir claramente su integral usando otras funciones “simples”. Esto incluye funciones trigonométricas, exponenciales y polinomios; p.ej $int frac12x^2+2 mathrmdx=frac16x^3+2x+C$.
Sin embargo, podemos probar que algunas funciones que parecen simples no tienen integral de forma cerrada. Como señalan las otras respuestas, es imposible escribir $int e^-x^2 mathrmdx$ usando funciones simples pero aún podemos calcular el valor numérico de la integral: $int_0^1e^-x^2 mathrmdxapprox0.747$. Claramente, nuestra función aún no es lo suficientemente desagradable.
No siempre podemos calcular el valor de algunas funciones o incluso algunos números. Hay algunos números no computables que, a pesar de existir, no se encuentra numéricamente; es imposible saber cuál es su valor. Los más famosos de estos son constantes de Chaitin, Ω. Entonces, agreguemos uno a la mezcla. Con $int_0^1e^-x^2+Omega mathrmdx$ no solo es imposible escribir la función en forma cerrada, ¡sino que ahora ni siquiera podemos calcular su valor! Bastante desagradable, pero ¿podemos empeorar?
Con esa última integral, no pudimos encontrar su valor pero lo hizo tener un valor. ¿Podemos hacer una función donde es imposible incluso integrarla? Él Función de Dirichlet, $I_mathbbQ(x)$, gestiona esto. es igual a $1$ en los números racionales pero $0$ en todos lados. Esencialmente, el $0$‘arena $1$están demasiado cerca uno del otro para que podamos distinguirlos, por lo que no se puede integrar.
Hay muchas otras formas en que podemos describir funciones y reducir aún más las cualidades que hemos enumerado con diferentes tipos de integración, computabilidad y formas cerradas.
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