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Solución:
La norma espectral es el máximo valor singular de una matriz. Intuitivamente, puede considerarlo como la ‘escala’ máxima por la cual la matriz puede ‘estirar’ un vector.
Consideremos la descomposición en valores singulares (SVD) de una matriz $X = USV^T$, donde $U$ y $V$ son matrices que contienen los vectores singulares izquierdo y derecho de $X$ en sus columnas. $S$ es una matriz diagonal que contiene los valores singulares. Una forma intuitiva de pensar en la norma de $X$ es en términos de la norma del vector de valor singular en la diagonal de $S$. Esto se debe a que los valores singulares miden la energía de la matriz en varias direcciones principales.
Ahora se puede extender la norma $p$ para un vector de dimensión finita a una matriz $mtimes n$ trabajando en este vector de valor singular:
beginalign ||X||_p &= Grande( sum_i=1^textmin(m,n) sigma_i^p Grande)^1 /p endalinear
Esto se llama el norma de Schatten de $X$. Las opciones específicas de $p$ producen normas de matriz de uso común:
- $p=0$: Da el rango de la matriz (número de valores singulares distintos de cero).
- $p=1$: Da la norma nuclear (suma de valores singulares absolutos). Esta es la relajación convexa más ajustada del rango.
- $p=2$: Da la norma de Frobenius (raíz cuadrada de la suma de cuadrados de valores singulares).
- $p=infty$: Da la norma espectral (valor singular máximo).