Si hallas alguna incompatibilidad en tu código o trabajo, recuerda probar siempre en un ambiente de testing antes aplicar el código al trabajo final.
Solución:
Personalmente, también he contemplado este problema y he encontrado una solución simple que es satisfactoria, al menos para mí. Estoy seguro de que esto también se puede encontrar en muchos libros de texto. En general, tenemos
$$tag$star$ Q=int rho dtau$$
porque estamos considerando un espacio tridimensional. Intuitivamente, creemos que debería ser posible hablar de una distribución de carga tridimensional en todos los casos. La pregunta es cómo conceptualizar esto cuando se habla de cargas superficiales, lineales o puntuales. La solución viene en forma de distribución delta de Dirac (o función, dependiendo de a quién le preguntes).
Echemos un vistazo a un ejemplo: considere una esfera de 2 de radio $R$, con alguna distribución de carga $sigma(theta,phi)$ en ella. ¿Cuál es la distribución de carga tridimensional $rho(r,theta,phi)$ correspondiente a esta situación? Como dije, tenemos que usar el delta de Dirac:
$$rho(r,theta,phi)=delta(rR)sigma(theta,phi)$$
Ahora, $(star)$ nos da: $$ Q=intrho dtau=int_0^2piint_0^piint_0^infty rho r^2sintheta dr dtheta dphi=R^2int_0^2piint_0^pisigma sintheta d theta dphi$$
De manera similar, cuando se considera una carga lineal o puntual, se usan dos o tres deltas de Dirac para describir la distribución en 3 espacios.
Dado un volumen con finito densidad de carga $rho$, la densidad de carga superficial $sigma$ de una superficie incrustada será infinitesimal. La carga del volumen es la integral de las cargas infinitesimales de las superficies incrustadas. Por el contrario, un densidad de carga superficial finita te daría un densidad de carga infinita allí, específicamente una función delta que, integrada, seguiría siendo una carga total finita. En su ejemplo anterior, las cargas del cilindro y del disco están relacionadas por:
$$Q_textcilindro = int_texttodos los discos dQ_textdisco = int dsigma_textdisco dS_textdisco = int rho dh dS_ textdisco =int rho dh r dr dtheta$$
Aquí he interpretado la densidad de carga de la superficie $dsigma$ como la densidad de carga del volumen multiplicada por el grosor de la superficie $rhodh$. Pero la integración sobre la densidad de carga de la superficie no es intuitiva y oscurece cómo las superficies se suman para formar un volumen.
Una mejor manera de verlo: No se divide el volumen de integración en superficies; lo cortas en volúmenes finos e infinitesimales. Entonces no necesita convertir entre densidades de superficie y volumen y está claro cómo los trozos se suman al volumen total. En su ejemplo, el volumen de cada disco es $dV_textdisco = pi R^2 dh$ y usted integraría
$$Q_textcilindro = int_texttodos los discos rho dV_textdisco = int_0^H rho pi R^2 dh$$
Ahora, el “proceso general” para resolver estos problemas es evaluar directamente la integral de volumen. Cortar un volumen e integrar las porciones es solo una forma de omitir algunos de los pasos que harías para evaluar la integral de volumen directamente. Si no sabe qué usar como elemento de volumen $dV$, depende de las coordenadas y casi siempre usará uno de los siguientes:
$$\textCartesiana: dV = dx dy dz \ textPolar: dV = r dr dh dtheta \ textEsférica: dV = r^2 sentheta dr dtheta dphi$$
(Es posible que desee consultar los artículos de Wikipedia sobre elementos de volumen y el jacobiano)
Lo siguiente se vuelve un poco confuso, pero analiza por qué a veces debe adoptar el enfoque de corte e ilustra de dónde proviene el elemento de volumen:
Alternativamente, es a veces es más rápido dividir el volumen en porciones cuyo volumen se puede escribir y en las que la densidad de carga es constante. Esto le permite hacer una integral sobre una sola variable en lugar del volumen.
Si no conoce el volumen de la porción, o si la función para integrar varía en las dimensiones finitas de la porción, ¡puede dividir la porción! Esto le da otra integral anidada, y una de las dimensiones finitas de la rebanada se vuelve infinitesimal. Puedes repetir esto hasta que todos los lados sean infinitesimales, y te quedará un paralelepípedo, que es solo el elemento de volumen $dV$ y volverás a hacer la integral de volumen.
Para ilustrar esto, considere un cilindro con densidad de carga $rho(r)$. Él útil El esquema de rebanado (para obtener superficies de $rho$ constante) es rebanar este cilindro en tubos concéntricos; cada tubo tiene una altura $H,$ un radio interior $r,$ y un grosor $dr$, por lo que el radio exterior es $r+dr.$ Sé que el volumen de este tubo es
$$dV_texttubo = 2pi rH dr$$
entonces necesito integrar
$$Q = int rho(r) dV_texttubo = int_0^R rho(r) 2pi rH dr$$
Si no supiera el volumen de un tubo como este, o si $rho$ dependiera de otra variable, lo dividiría nuevamente en anillos de altura $dh, $ espesor $ dr, $ y radio $ r. $ digo yo quieto No sé cuál es el volumen de estos anillos, así que corté mis anillos radialmente a lo largo del eje $theta$ en paralelepípedos rectangulares cuyas dimensiones son $dV = dh times dr times r dtheta$. Volvemos a hacer la integral de volumen en coordenadas polares.
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