Solución:
Las desigualdades son extremadamente útiles en matemáticas, especialmente cuando tratamos con cantidades que tampoco sabemos exactamente a qué equivalen. Por ejemplo, sea $ p_n $ el $ n $ -ésimo número primo. No tenemos una buena fórmula para $ p_n $. Sin embargo, sabemos que $ p_n leq 2 ^ n $. A menudo, se puede resolver un problema matemático estimando una respuesta, en lugar de escribir exactamente lo que es. Esta es una de las formas en que las desigualdades son muy útiles.
Hay muchas desigualdades en matemáticas que son más o menos importantes, puedes ver una lista aquí.
No es sencillo establecer un rango de importancia para ellos, pero creo que el más importante es la desigualdad del triángulo. En la forma más simple, esta desigualdad establece que, para cualquier triángulo, la suma de las longitudes de cualesquiera dos lados debe ser mayor o igual que la longitud del lado restante. Esto capta un carácter fundamental de la noción de distancia que concuerda con nuestra intuición en el espacio euclidiano. Pero se puede generalizar a espacios más abstractos (como los espacios de funciones en el análisis funcional) de modo que, también en estos espacios podemos definir una noción de distancia.
Para probar la desigualdad del triángulo en estos espacios necesitamos algunas otras desigualdades y las más relevantes son las desigualdades de Holder y Minkowski que se utilizan para demostrar cuándo en un espacio vectorial podemos definir una norma y, a partir de esta norma, una distancia.
Tengo la sensación de que lo que realmente buscas son ejemplos de desigualdades “famosas” que se aprovechan y no solo la noción de desigualdad como atributo general.
Porque, si nos atenemos a la noción de desigualdad en general, un buen ejemplo de por qué es esencial es definir la línea real.
Los cortes de Dedekind que definen los reales son particiones del campo ordenado $ Bbb {Q} $. Si no tiene un orden (relaciones de desigualdad) entre sus miembros, no puede definir $ Bbb {R} $ de esta manera.
Para un ejemplo de una desigualdad como una “fórmula”, considere la desigualdad $ LM $, utilizada en el análisis complejo, que da un límite superior para una integral de contorno, por lo que tiene una variedad de aplicaciones.
Si f es una función continua de valor complejo en el contorno $ Gamma $, la longitud del arco de $ Gamma $ es $ l ( Gamma) = L $ y el valor absoluto de $ f $, $ | f (z ) | $ está acotado por una constante $ M $ $ forall $ $ z $ en $ Gamma $, entonces sostiene que $$ int_ Gamma | f (z) | dz leq ML $$