Solución:
Lo que estoy tratando de decir es que el rango de $ sin x $ es $ (- 1,1) $.
Cometiste un error aquí. El rango de seno es un intervalo cerrado, que denotamos con PS[-1, 1]PS, no uno abierto $ (- 1,1) $.
Mientras que, según mi entendimiento, el codominio es $ Re $(numeros reales).
Sí, números reales. Pero generalmente se denotan con $ mathbb R $ (LaTeX / MathJax mathbb R), no $ Re $ (Re).
Pero definiendo el codominio de $ sin x $ como decir $ (- 2,2) $ no va a cambiar nada.
Te equivocas. La redefinición del codominio puede cambiar las propiedades de una función. Dar a la función seno un codominio de $ (- 2,2) $ no lo cambia mucho, pero darle PS[-1,1]PS cambia mucho:
$$ sin: mathbb R to [-1,1]$$
es una sobreyección (una función “sobre”), mientras que
$$ sin: mathbb R a mathbb R $$
no es.
La redefinición de un dominio también puede cambiar las propiedades de la función:
$$ sin: left[0, tfracpi 2right] to mathbb R $$
es una inyección (una función “en”), mientras que
$$ sin: left[0, piright] to mathbb R $$
no es.
Para responder específicamente a la última oración de la pregunta:
¿Qué obligó a los matemáticos a definir el codominio? ¿Por qué no estaban contentos con el concepto de rango únicamente?
Aquí copio lo que agregué anteriormente en el comentario a continuación:
necesitamos codominios, porque a veces necesitamos considerar funciones, cuya definición se conoce junto con un codominio, pero el rango se desconoce. A veces ni siquiera tenemos la definición, solo algunos las propiedades son conocidas y estamos satisfechos con conocer el codominio sin limitarlo al rango (“supongamos $ f $ es una función de valor real tal que …; show $ f $ es constante “: sabemos que el codominio es $ mathbb R $ y solo necesitamos mostrar que el rango es de un punto, no necesariamente cuales uno).
Expansión:
También tenga en cuenta que el rango de una función puede ser difícil de describir. Para las funciones reales continuas que consideramos en las escuelas, el rango suele ser un intervalo o una suma de intervalos, pero esos son casos especiales. Hay funciones con rangos mucho menos regulares.
Por ejemplo, vea esta pregunta en Math.SE: Muestre que la función f es continua solo en los puntos irracionales para una función descrita también en Wikipedia: Función de Thomae: se define en números reales, pero su rango es un conjunto de recíprocos de todos números naturales y cero: $$ mathbb R a { tfrac 1n: n in mathbb N } cup {0 }. $$
Uno puede declarar fácilmente una función cuyo rango es literario alguna conjunto no vacío predefinido $ S subseteq mathbb R $ – solo elige cualquiera $ s en S $ y definir: $$ f: x mapsto begin {cases} x & text {if} x in S, \ s & text {de lo contrario.} end {cases} $$
En un enfoque más general, el rango puede ser aún más difícil de describir analíticamente.
Considere una función, cuyo parámetro es real y los valores son pares de números reales (o números complejos, que es equivalente a estos últimos gracias al plano complejo de Jean-Robert Argand). Si la función es continua, su rango es una curva en un plano. Por ejemplo, si la función es la posición de un proyectil en términos de altura y distancia, obtenemos una trayectoria completa. No es muy probable que uno necesite comparar tales trayectorias; por lo general, nos interesará la altura máxima y la distancia máxima alcanzable en algunas condiciones, pero no la forma completa. De todos modos, es posible. Pero, ¿cómo compararía una curva de trayectoria balística con un cuadrado simple? … a un copo de nieve de Koch? … al Círculo de Varsovia? … ¿O a un dragón de Heighway?
¿Y qué hay de las funciones no continuas, o las definidas en algunos subconjuntos de $ mathbb R $, ¿cuyos rangos pueden convertirse en cualquier figura en el plano, por ejemplo, una familia de círculos concéntricos intersectados por una familia de líneas paralelas? … o el interior de un anillo?
Las cosas se vuelven aún más raras si el ‘espacio objetivo’ de una función es un conjunto más complejo, como un espacio de secuencias enteras, un espacio de matrices reales $ 5 veces 5 $, un espacio de funciones reales integrables en un intervalo unitario, y así sucesivamente. No siempre es necesario conocer el rango de una función, a menudo es suficiente saber cuál es su codominio.
Funciona generalmente $ f = (F, A, B) $ se define por triple, donde $ A $, $ B $ son conjuntos, $ F $ es gráfico funcional y dominio $ pr_1F = A $ como está en “Teoría de conjuntos” N. Bourbaki. Entonces puedes considerar diferentes triples y obtener diferentes funciones.
Denotemos, por ejemplo, por PECADO gráfico para $ sin $. Luego
$$ ( text {SIN}, mathbb {R}, [-1, 1]) $$
$$ ( text {SIN}, mathbb {R},[-2,2]) $$
Son funciones formalmente diferentes.