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Solución:
Para hablar de formas diferenciales, primero debemos hablar de variedades y campos vectoriales. Hablando informalmente, una variedad es cualquier espacio que sea localmente euclidiano. Es decir, el área alrededor de cada punto en una variedad “parece” un espacio euclidiano, pero el espacio en su conjunto puede no ser euclidiano. Los ejemplos incluyen esferas y toros. Los ejemplos más complejos son variados e interesantes, pero son difíciles de definir en un entorno informal.
Una variedad suave es una variedad en la que las regiones euclidianas alrededor de cada punto son en cierto sentido “compatibles”. Esto significa que si las regiones euclidianas de dos puntos se superponen, puedo ambos sistemas de coordenadas euclidianas en esa región superpuesta y transferirlos de uno a otro de una manera infinitamente diferenciable.
Una función suave en una variedad suave es una función cuyo rango son los números reales, y que es infinitamente diferenciable con respecto a los sistemas de coordenadas euclidianas en las regiones euclidianas alrededor de puntos en la variedad. El conjunto de todas las funciones suaves en una variedad $ M $ se llama $ C ^ infty (M) $
Si las cosas se están moviendo un poco rápido para usted, puede subir los últimos tres párrafos como, “tenemos espacios que de cerca se ven como espacios euclidianos, y funciones en ellos que son en cierto sentido diferenciables”.
Ahora hablaremos de un vector en un punto de una variedad suave. Esta definición probablemente suene realmente extraña, pero realmente es la forma más sencilla de definir vectores en variedades suaves. Un vector $ v $ en un punto $ x $ en una variedad suave $ M $ es cualquier función cuyo dominio es $ C ^ infty (M) $ y cuyo rango es $ mathbb R $, y que satisface las siguientes tres propiedades :
- $ v (f + g) = v (f) + v (g) $
- $ v ( lambda f) = lambda v (f) $
- $ v (fg) = v (f) g (x) + f (x) v (g) $
Donde $ f $ y $ g $ son funciones suaves en $ M $ y $ lambda $ es un número real (observe algo que se parece a la regla del producto). ¿Qué significa esto y cómo se relaciona con los vectores tal como estamos acostumbrados a verlos? Estamos acostumbrados a ver vectores definidos por una colección de componentes. Pero el problema con eso es que esas coordenadas dependen del sistema de coordenadas que elegimos usar. La definición que acabo de dar no lo hace. Pero si te gustan las coordenadas, no te preocupes; podemos transferir entre estas dos definiciones. Si sus coordenadas son $ (x_1, cdots, x_n) $ y su vector expresado en coordenadas euclidianas en un punto $ x $ es $ v = (v_1, cdots, v_n) $, podemos escribir el vector como un objeto de la forma que definí arriba escribiendo $$ v = v_1 frac parcial parcial x_1 + cdots + v_n frac parcial parcial x_n. $$ Puede actuar sobre una función $ f $ por diferenciación: $$ v (f) = v_1 frac parcial f parcial x_1 (x) + cdots + v_n frac parcial f parcial x_n (x). $$ Es fácil observar que esto satisface cada una de las tres propiedades anteriores.
Un campo vectorial uniforme en una variedad suave es una colección de vectores en una variedad, uno en cada punto, que varían de una manera suave (diferenciable). En otras palabras, es una función $ X $ cuyo dominio y rango son $ C ^ infty (M) $ tal que
- $ X (f + g) = X (f) + X (g) $
- $ X ( lambda f) = lambda X (f) $
- $ X (fg) = X (f) g + fX (g) $
Si le resulta más fácil, está bien imaginar un vector como una pequeña flecha tangente a una superficie, e imaginar un campo vectorial como un montón de flechas que cubren la variedad. Es una imagen natural en la que pensar, pero resulta bastante inútil en la práctica. Pero como se trata de una “discusión informal”, adelante.
Finalmente estamos listos para definir una forma diferencial.
Una forma diferencial $ k $ en una variedad suave $ n $ dimensional $ M $ es cualquier función multilineal $ omega $ que toma como entrada $ k $ campos vectoriales suaves en $ M $, $ X_1, cdots, X_k $ y genera una función escalar en $ M $ de modo que $$ omega (X_1, cdots, X_i, cdots, X_j, cdots, X_k) = – omega (X_1, cdots, X_j, cdots, X_i, cdots, X_k). $$ La última propiedad se llama antisimetría.
Entonces, ¿cuál es la motivación detrás de tal objeto? Hasta donde yo sé, la aplicación más importante de las formas diferenciales es, con mucho, la integración en variedades. Es posible que haya habido alguna otra razón para su descubrimiento y definición inicial, pero para eso se utilizan. Cuando piensa en la integración, piensa en calcular el área y el volumen. En una variedad $ n $ -dimensional, es posible que deseemos medir el volumen o área de cualquier subvariedad de $ n $ con cualquier dimensión menor o igual a $ n $. Dado un sistema de coordenadas en $ M $, una forma diferencial $ k $ nos dice cómo medir el volumen dimensional $ k $ de acuerdo con ese sistema de coordenadas. Suponiendo que ha realizado un curso de cálculo multivariable, probablemente recuerde haber visto una imagen de un elemento de volumen de coordenadas esféricas.
Imágenes como ésta también nos dan una idea de cómo funcionan las formas diferenciales. La imagen etiqueta cambios infinitesimales en las direcciones $ theta $, $ phi $ y $ r $, y muestra cómo podemos calcular el volumen infinitesimal barrido por estos cambios. En su lugar, podríamos considerar tres campos vectoriales que en cada punto tienen vectores tangentes a las direcciones $ theta $, $ phi $ y $ r $ respectivamente. Una forma diferencial de 3 combinaría estos tres campos vectoriales en el mismo elemento de volumen.
¿Por qué la antisimetría? La antisimetría nos permite considerar orientaciones. Nuevamente, si ha estudiado cálculo multivariable, sabrá que cuando se integra sobre una superficie en un espacio tridimensional, generalmente es importante notar en qué dirección se encuentran los vectores normales al punto de la superficie. Pero si nuestra superficie se encuentra en un espacio de 4 dimensiones o más, no existe una dirección normal única en cada punto, por lo que usamos el orden de nuestras coordenadas para determinar la orientación. Si cambiamos dos coordenadas, cambiamos de orientación. Obtendremos el mismo resultado de la integración, excepto que el signo se invertirá.
Espero haber respondido algunas de tus preguntas.
Desafortunadamente, hay un tonelada del formalismo detrás de las formas diferenciales, y una explicación “intuitiva” de ellas para un no especialista es probablemente demasiado pedir. Yo mismo he pasado una cantidad razonable de tiempo pensando en lo que “son” las formas diferenciales, tratando de derivarlas de los primeros principios o tratando de entenderlas como generalizaciones de tal o cual objeto en cálculo elemental.
En este punto, sin embargo, creo que la mejor manera de abordar el desalentador concepto de formas diferenciales es darse cuenta de que las formas diferenciales se definen como lo que hace que el teorema de Stokes true. En otras palabras, puede abordar la comprensión de formas de dos formas diferentes:
- Puedes intentar comprender las formas diferenciales primeroe interpretar el teorema de Stokes como un resultado profundo sobre las formas, o
- Puede darse cuenta de que el teorema fundamental del cálculo, el teorema de Green, el teorema de la divergencia, Kelvin-Stokes, etc. tentadoramente similary, a continuación, puede intentar comprender por qué las formas son correcto abstracción que convierte a todos estos teoremas en casos especiales del mismo teorema general de Stokes.
Creo que el segundo enfoque es más esclarecedor y lleva a golpearse menos la cabeza contra la pared tratando de entender “por qué” las definiciones son lo que son. Así que le aconsejo que primero comprenda a fondo todos los teoremas que enumeré anteriormente, y luego, una vez que se haya convencido de que todos son “iguales” de alguna manera misteriosa que no puede identificar, intente elegir un libro sobre formas diferenciales que no comenzar con múltiples como un prerrequisito, por ejemplo, Spivak’s Cálculo en colectores. Entender muy bien los determinantes probablemente tampoco hará daño.
Si aceptas, eres capaz de dejar un escrito acerca de qué le añadirías a este ensayo.