Solución:
El principio que has notado está conectado al sistema que estás usando implícitamente: esférico, cilíndrico y en el caso de un cubo sería cartesiano.
Observe que necesita $ r $ y $ h $ para el sistema cilíndrico, mientras que solo $ r $ para el esférico. Las coordenadas restantes que se han ido en el cálculo están relacionadas con el ángulo y, dado que la esfera y el cilindro son simétricos, los componentes de este ángulo ya están contados. No hay cambios en ningún ángulo.
El cono y el tetraedro no se ajustan a ninguno de los tres sistemas, ya que no tienen esa forma de simetría, y aunque su principio se aplica si lo coloca todo, por ejemplo, en el sistema cilíndrico, inevitablemente necesitará en algún lugar de su cálculo un nuevo componente de coordenadas como la altura lateral.
En esencia, la fórmula como $ frac {1} {3} pi r ^ 2 h $ no se puede usar ya que el sistema que necesita no tiene solo las coordenadas $ r $ y $ h $. A diferencia de otros ejemplos, $ r $ y $ h $ no contienen una información completa sobre la geometría del cono o tetraedro, por lo que podría tomar sus derivadas de una manera simple. A medida que estamos subiendo a un cono, $ r $ cambia linealmente con $ h $ y esto no se expresa en la fórmula final de ninguna manera en particular.
Una vez más, el principio no tiene nada de malo, pero derivarlo para un cono podría no ser una tarea directa. Lo que puede hacer es expresar el volumen en forma de integral (cuyo resultado es la fórmula estándar para el volumen de cono o tetraedro) mientras que su forma mostraría claramente el principio que ha notado.
Esto no es posible directamente desde la fórmula de volumen estándar.
Para entender el eslabón perdido, escribe el volumen del cono como:
$$ V = frac {1} {3} pi r ^ 3 tan alpha $$
donde $ alpha $ es el ángulo de la altura inclinada a la base.
Ahora escribe el área de la superficie del cono usando las mismas variables. Tú tienes
$$ S = pi r ^ 2 (1+ frac {1} { cos alpha}) $$
y ahí viene el problema. Cuando aumenta $ r $ usted no obtener el mismo aumento proporcional en volumen y área de superficie.
Sin embargo, de qué manera precisa es necesario agrandar un cono para que su volumen y área de superficie sigan las mismas proporciones técnicamente teniendo el área de superficie como una derivada del volumen no es una pregunta simple. Pero definitivamente es posible. La pregunta principal ha terminado qué necesitamos expresar el volumen y el área de la superficie para tener esto como lo deseaba.
Podría sugerir expresar el volumen y la superficie a través de este sistema de dos coordenadas $ (u (x), v (x)) $ y ver si la derivada a través de $ x $ se ajusta a sus necesidades. (No parece imposible tener $ (r (x), h (x)) $ también, solo supongo que $ (u, v) $ parece más natural con respecto al crecimiento del cono).
Vayamos al fondo de esto. Si aumenta todos los lados en $ Delta x $, como en la imagen, es equivalente a aumentar solamente la altura por $ Delta x (1+ frac {1} { sin { beta}}) $ donde $ beta $ es la mitad del ángulo en el vértice. (Simplemente traslade hacia arriba el triángulo interno por $ Delta h $.)
Ahora, en lugar de la derivada, usaremos un número dual equivalente, que no es más que introducir un símbolo $ epsilon $ para que sea $ epsilon ^ 2 = 0 $. Ahora, encontrar la primera derivada de $ f (x) $ es lo mismo que calcular $ f (x + epsilon) $ y usar la propiedad de cancelación $ epsilon ^ 2 = 0 $. Reemplazamos $ epsilon = Delta {x} $.
(Uh, ahora el látex me va a matar los dedos, pero déjanos hacerlo).
$$ Delta {h} = Delta {x} frac {1} { sin { beta}} $$
Ahora la traslación total y el aumento de altura equivalente es como ya mencionamos:
$$ Delta {x ‘} = Delta {h’} = Delta {h} + Delta {x} = Delta {x} (1+ frac {1} { sin { beta}}) $$
Ahora puedes ver en las fotos.
$$ frac { Delta {r}} { Delta {x ‘}} = tan { beta} $$
$$ Delta {r} = Delta {x} (1+ frac {1} { sin { beta}}) tan { beta} $$
$$ V + Delta {V} = frac { pi} {3} (r + Delta {r}) ^ 2 (h + Delta {h ‘}) = frac { pi} {3} (r + Delta {x} (1+ frac {1} { sin { beta}}) tan { beta}) ^ 2 (h + Delta {x} (1+ frac {1} { sin { beta}})) $$
Desde aquí, usando la regla de cancelación y $ V = frac { pi} {3} r ^ 2h $ tenemos
$$ Delta {V} = frac { pi} {3} (r ^ 2 Delta {x} (1+ frac {1} { sin { beta}}) + 2r Delta {x} (1+ frac {1} { sin { beta}}) h tan { beta}) $$
Como estamos interesados en la derivada parcial $ frac { Delta {V}} { Delta {x}} $ tenemos
$$ frac { Delta {V}} { Delta {x}} = frac { pi} {3} (r ^ 2 + frac {r ^ 2} { sin { beta}} + 2rh tan { beta} + frac {2r} { cos { beta}}) $$
Usando propiedades obvias $ frac {r} {l} = sin { beta} $ y $ frac {r} {h} = tan { beta} $ tenemos
$$ frac { Delta {V}} { Delta {x}} = frac { pi} {3} (r ^ 2 + rl + 2rr + 2rl) $$ o como preguntaste
$$ frac { Delta {V}} { Delta {x}} = S = pi r ^ 2 + pi rl $$
Lo anterior justifica esta parametrización que conduce a su respuesta de manera más o menos directa:
$$ V = frac { pi} {3} r (x) ^ 2h (x) $$ $$ r (x) = x (1+ frac {1} { sin { beta}}) tan { beta} $$ $$ h (x) = x (1+ frac {1} { sin { beta}}) $$
$$ V = frac { pi} {3 tan { beta}} r (x) ^ 3 $$
$$ frac { parcial V} { parcial x} = frac { pi} { tan { beta}} r (x) ^ 2 r ‘(x) = frac { pi} { tan { beta}} r (x) ^ 2 (1+ frac {1} { sin { beta}}) tan { beta} = pi r ^ 2 + pi rl = S $$
Agregando al sabor, $ x $ es obviamente el radio del círculo inscrito (por supuesto, es el radio de la esfera inscrita cuando miramos el cubo). Esto indica el sistema que estábamos buscando: el centro del sistema es el centro del círculo inscrito y los ejes van perpendicularmente a la base y al lado.
PD Si hay alguna duda de que esto es solo una casualidad, un cubo por el mismo razonamiento tiene la parametrización $ a (x) = 2x $ ya que el radio de la esfera inscrita, $ x $, es $ frac {a} {2} $.
$$ displaystyle V = a ^ 3 $$ $$ displaystyle frac { parcial V} { parcial x} = 3a ^ 2 (x) a ‘(x) = 6a ^ 2 = S $$