Solución:
Qué es lo que significar cuando escribimos $ a ^ b $, digamos que $ a> 0 $? La pregunta es muy buena. La respuesta, desafortunadamente, es bastante complicada y los detalles completos son bastante extensos.
Tenemos una comprensión clara de lo que queremos decir con $ a ^ 2 $ o $ a ^ 5 $. Y desde bastante temprano, aprendemos a definir $ a ^ n $, donde $ n $ es negativo, como $ frac {1} {a ^ {- n}} $.
Después de un tiempo, desarrollamos una comprensión de lo que queremos decir con algo como $ a ^ {3/4} $. Porque (nos hacen creer) que hay un número positivo único $ s $ tal que $ s ^ 4 = a $, y luego podemos definir $ a ^ {3/4} $ como $ s ^ 3 $. Esta idea se puede utilizar para definir $ a ^ {p / q} $, donde $ p $ y $ q $ son números enteros.
Después de un tiempo, podemos demostrar, más o menos rigurosamente, que el leyes de exponentes que funcionó para potencias enteras también funciona para expresiones de la forma $ x ^ {p / q} $, donde $ p $ y $ q $ son números enteros.
Sin embargo, que hacemos significar, por ejemplo, por $ 3 ^ { sqrt {2}} $? ¡Ciertamente no es $ 3 $ multiplicado por sí mismo $ sqrt {2} $ veces!
Hay varias formas de resolver la cuestión. Una forma es notar que $ sqrt {2} = 1.41421356 dots $ y considerar la secuencia $ 3 ^ {1.4} $, $ 3 ^ {1.41} $, $ 3 ^ {1.414} $, $ 3 ^ {1.4142} $ y pronto. Todas estas potencias tienen sentido, porque los exponentes $ 1.4 $, $ 1.41 $, $ 1.414 $, etc., pueden expresarse como fracciones. Pero, intuitivamente, estos números se acercan cada vez más a alguna cosa, y definimos $ 3 ^ { sqrt {2}} $ como ese algo. Podemos hacer una verificación informal parcial de la parte de “acercarse cada vez más” en este caso, usando una calculadora.
Más formalmente, sea $ b $ un número real, y sea $ b_1, b_2, b_3, dots $ una secuencia infinita de racional números tales que la secuencia $ (b_n) $ tiene límite $ b $. Se puede demostrar que la secuencia $ (a ^ {b_n}) $ tiene un límite, que es independiente de la secuencia particular $ (b_n) $ que hemos elegido, siempre que la secuencia tenga $ b $ como límite.
Entonces podemos definir $ a ^ b $ como el límite de la secuencia $ (a ^ {b_n}) $. Con mucho esfuerzo, podemos demostrar que se cumplen las conocidas leyes de exponenciación.
El enfoque anterior, aunque intuitivamente muy natural, es difícil de manejar. Entonces, en la práctica, usualmente adoptamos otro enfoque.
La forma estándar es definir primero la función $ ln x $. Luego definimos la función exponencial $ exp (x) $, también conocida como $ e ^ x $, como la función inversa de $ ln x $. O bien, dependiendo del gusto, primero definimos la función $ exp (x) $, y luego su inversa $ ln x $. Existe una gran variedad de definiciones (demostrablemente equivalentes).
Por ejemplo, podríamos definir $ ln x $ por $$ ln x = int_1 ^ x frac {1} {t} dt. $$ No es muy difícil demostrar que $ ln $ como se define arriba satisface las “leyes de los logaritmos” básicas habituales, y que es una función creciente, por lo que tiene una inversa, que llamamos $ exp $.
Finalmente, después de este trabajo de fondo, definimos $ a ^ b $ (para $ a> 0 $) por $$ a ^ b = exp (b ln a). $$ Entonces podemos verificar fácilmente que en los casos en que ya “sabemos” qué debería ser $ a ^ b $, es decir, $ b $ racionales, la definición anterior concuerda con nuestra intuición, y que las “leyes de los exponentes” habituales son válidas para esta noción más general de potencia.
Advertencia: En toda la publicación, se asume que $ a $ es un número real positivo y que todos los exponentes son números reales. Las exponenciales complejas son mucho más complejas.
Sí, puede, cuando el número que está elevando a una potencia es positivo. Hay (al menos) dos formas de definir $ a ^ x $, donde $ a> 0 $ y $ x $ es un número real que puede no ser racional:
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Puede elegir una secuencia de números racionales $ x_n $ convergiendo a $ x $ (es decir, $ lim limits_ {n to infty} x_n = x $) y definir $$ a ^ x = lim_ {n to infty} a ^ {x_n}. $$
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Puedes usar la función exponencial $ e ^ x $ (definida de muchas maneras, digamos como $ e ^ x = lim_ {n to infty} (1+ frac {x} n) ^ n $ o con una potencia serie), y su inversa la función logarítmica que satifica $ e ^ { ln t} = t $ para todos los $ t $ positivos, y como $ a = e ^ { ln a} $, defina $$ a ^ x = e ^ {x ln a}. $$
Ambas definiciones dan la misma respuesta. Consulte también el artículo de Wikipedia sobre exponenciación, sección sobre exponentes reales. Cuando $ a $ es negativo, es difícil hacer esto mientras se mantiene en reales, pero consulte la sección sobre potencias de números complejos.
Para un número real positivo $ a $ y cualquier número real $ b $, puede hacer la definición:
$$ a ^ b equiv exp (b log a) $$
habiendo definido primero la función exponencial como una serie de potencias infinitas (y mostrando que converge para cada argumento real) y el logaritmo como el inverso de la función exponencial (después de mostrar que la función exponencial es monótona y que su imagen es la línea real positiva ).
Más formalmente, puede definir la función $ f: mathbb {R} ^ + times mathbb {R} to mathbb {R} ^ + $ que satisface $ f (a, b) = a ^ b $ para racional $ a, b $ y llena los espacios continuamente para irracionales $ a, b $.